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Théorèmes de Convergence

Bonjour à tous, dans cet exercice sur les limites, nous devons montrer que la fonction f est définie sur l'ensemble des réels. Pour cela, nous examinons les racines de la fonction. Pour la première racine, nous remarquons que x² et 1+x² sont toujours strictement positifs, donc il n'y a pas de problème. En ce qui concerne la deuxième racine, nous devons faire deux cas : si x > 0, alors x est positif et 1+x² est positif, donc pas de problème. Si x < 0, nous comparons les deux termes et remarquons que 1+x² est plus grand que x², donc racine(1+x²) est bien défini et positif. Ainsi, les racines sont définies pour tout x appartenant à R, donc l'ensemble de définition de f est R.

Pour la deuxième question, nous devons justifier que f est dérivable sur tout R. Pour cela, nous devons montrer que l'intérieur des racines est strictement positif. En utilisant les inégalités précédentes, nous pouvons conclure que l'intérieur des racines est strictement positif pour tout x. Nous justifions également que la fonction racine est dérivable en 0, car nous avons déjà montré que son intérieur est strictement positif. Donc, f est dérivable sur R.

Ensuite, nous calculons la dérivée de f en utilisant la composition et les formules de dérivation. Nous obtenons une expression pour f'(x) qui est toujours strictement positive. Donc, f est strictement croissante sur R.

Nous passons ensuite à l'étude des limites. La limite de f lorsque x tend vers plus l'infini est plus l'infini, ce que nous justifions en composant avec la limite de racine. La limite de f lorsque x tend vers moins l'infini est 0, ce que nous démontrons en utilisant la quantité conjuguée. Ainsi, nous concluons que la limite de f lorsque x tend vers plus l'infini est plus l'infini et la limite de f lorsque x tend vers moins l'infini est 0.

Enfin, nous traçons le graphique de f en utilisant des valeurs remarquables. Nous vérifions que f tend vers moins l'infini lorsque x tend vers 0 et que f tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini.

C'était la correction de cet exercice sur les limites. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ. Merci !

Bonjour à tous, je vais corriger cet exercice sur les limites. C'est un exercice qui est de difficulté intermédiaire. Néanmoins, il y a une petite transformation à faire pour l'étude des limites qui va être importante et donc c'est important de la maîtriser pour pouvoir arriver jusqu'au bout. Tout d'abord, regardons la fonction. L'exercice nous propose une fonction f qui a une double racine, donc racine de x plus racine de 1 plus x² et dans un premier temps, on nous demande de montrer que f est défini sur l'ensemble des règles. Dans tous les cas, même si on ne nous avait pas posé la question, c'est vrai que c'est important de toujours s'intéresser sur quel ensemble de définition définit ma fonction. Là, on nous pose la question, donc on va bien regarder. J'ai des racines, il faut que mes racines soient positives ou nulles. Regardons dans un premier temps la racine la plus imbriquée. Donc celle-ci, on va regarder. Pas de problème, x² est supérieur à 0, strictement. 1 plus x² aussi, donc pas de problème. C'est bon pour la première racine. Maintenant, ce qu'il faut regarder, c'est la deuxième racine. D'ailleurs, on peut retirer ici la racine. Ce qu'il faut, c'est que l'intérieur soit bien positif pour que la racine soit définie. On va faire deux cas. Si x est supérieur à 0, aucun problème, puisque j'ai quelque chose de positif, x plus une racine qui est positive, donc pas de problème. Si x est inférieur à 0, c'est là où c'est un peu plus subtil. Là, on va devoir comparer les deux termes. J'ai x qui est négatif et racine de 1 plus x² qui est positive. Je pars de l'inégalité 1 plus x² qui est plus grand que x², et je passe à la racine. Attention, quand on passe à la racine, racine de x², c'est égal à moins x, parce que x est négatif ici. Je fais passer mon moins x de le côté, ça me fait racine de 1 plus x² plus x, qui est plus grand que 0, donc c'est bon. Vous verrez que pour la prochaine question, j'ai tout de suite travaillé avec des inégalités strictes, comme ça je n'aurai pas de problème pour après. Ce n'est pas nécessaire ici, j'aurais pu garder mes inégalités larges, aucun problème. La racine n'a pas besoin d'avoir son intérieur qui est strictement positif. Mes racines sont bien définies pour tout x appartenant à R, donc l'ensemble de définition, c'est R. Passons maintenant à la deuxième question. On me demande son tableau de variation. Tout de suite, je pense à la dérivée. C'est très important de bien justifier, même si ce n'est pas explicitement demandé, la dérivabilité sur R de la fonction R. Ce n'est pas évident, parce qu'on a une fonction racine. N'oublions pas que la fonction racine n'est pas dérivable en 0, pourtant elle est définie en 0, mais pas dérivable en 0, parce qu'elle a une pente infinie. Si on regarde la courbe, elle a une pente infinie en 0. Qui dit pente infinie, dit une dérivée qui tend vers plus infinie, donc en 0, ce n'est pas défini. Je vais devoir regarder ça. Là, comme j'ai décomposé, ce qu'il faut bien regarder, c'est qu'il faut que l'intérieur de mes racines soit strictement positif. Voilà pourquoi, à la question précédente, j'ai pris des inégalités strictes. Comme ça, j'ai déjà répondu à la question. Il faut s'attarder là-dessus. 1 plus 8 carrés, évidemment, est différent de 0, parce que c'est tout le temps supérieur à 1. Là, c'est bien strictement positif. Idem pour le x plus racine de 1 plus 8 carrés. Pourquoi ? Parce que je l'ai fait à la question précédente. C'était ma conclusion de la question précédente. C'était bien une inégalité stricte ici. Là, pas de problème. Ça veut dire que, par composition, l'intérieur de ma racine est strictement positif, donc f est bien dérivable sur R tout entier. Là, il faut le justifier. Si vous ne le justifiez pas, vous pouvez perdre un demi-point. Maintenant, calculer la dérivée, c'est moins évident. Là, on va faire par composé. Je vais poser u de x égale x plus racine de 1 plus x carrés. Je calcule la dérivée de cette fonction. Ça, ce n'est pas très dur. Je mets tout le même dénominateur pour que ce soit plus simple. J'obtiens racine de 1 plus x carrés plus x. Le tout sur racine de 1 plus x carrés. Maintenant, je reconnais que f est de la forme racine de u. J'utilise mes formules de dérivation qui me disent que f prime est égale à u prime sur deux racines de u. Je remplace. Et qu'est-ce que je constate ? Je constate que, quand je fais ça, je remarque que ce terme-là, en fait, c'est égal à racine de celui-là. Finalement, ça se simplifie. Et il ne me reste que le terme. En fait, j'ai une racine de racine. Et en bas, il me reste ce terme-là. Et donc, il me reste cette expression-là de racine. Je vois que j'ai mis un 2 en trop. Non, je n'ai pas mis de 2 en trop. Non, non, c'était correct. C'était bien un 2. En fait, ici, il y a un 4. 6, 1, 4. Bon, ça ne changera pas le signe. Mais bon, autant mettre quelque chose de juste. Voilà l'expression de f prime. Je remarque que le terme au numérateur est strictement positif. On a fait l'étude juste avant. Et idem pour le terme en dessous. Donc, finalement, ma dérivée est tout le temps positive. Donc f est strictement croissante sur f. Je vais pouvoir faire mon tableau de variation. Petite remarque au passage. Il y a une autre façon de dériver racine de u. C'est d'utiliser la formule avec les puissances. Parce que racine de u, c'est quoi ? Je peux dire que c'est de la forme u de x à la puissance 1 demi. Et donc, je reconnais quelque chose de la forme u puissance n avec n égale 1 demi. Des fois, c'est assez pratique. Parce que je n'ai pas besoin de faire la simplification de tout à l'heure. Qui est un peu fastidieuse. Quand je fais ce terme-là divisé par celui-là, je vois que ça simplifie. Donc, directement, je peux utiliser la formule n u prime u puissance n moins 1. Et là, je l'applique. Et u puissance n moins 1. Donc, n moins 1 vu que n vaut 1 demi. 1 moins 1 demi, ça fait moins 1 demi. Donc là, j'ai directement la formulation. D'ailleurs, j'ai besoin quand même de faire la simplification. En tout cas, ça marche. La formule avec les puissances fonctionne même si n n'est pas un entier. Donc, ça peut être des fois astucieux d'utiliser cette formule. Maintenant, regardons le tableau de variation de ma fonction. Il est très simple. Ma fonction est strictement croissante. C'est un tableau de variation le plus simple qui soit. Petite remarque. En principe, ce que j'écris ici, c'est que quand on demande un tableau de variation, ce n'est pas exactement la même question que les variations. Les variations, c'est est-ce qu'elle est croissante ou décroissante. On demande simplement de donner le sens de variation de la fonction. En revanche, quand on demande un tableau de variation, a priori, il faut les limites. Il faut les limites de la fonction. Pourquoi je ne les donne pas ? Parce que c'est la question 3. Je vais le faire ensuite. Mais c'est vrai que si on vous demande juste un tableau de variation, a priori, il faudra le donner avec les limites sur les extrémités de l'ensemble de définition. Là, l'ensemble de définition, c'est R. Donc, ça va être en moins l'infini et plus l'infini. Maintenant, on nous demande la limite en plus l'infini. Là, c'est là où il faut être un peu rigoureux pour le faire proprement par composition. Je sais que la limite de x², quand x est vers plus l'infini, c'est plus l'infini. Donc, racine de 1 plus x² tend bien vers plus l'infini. Comment je le justifie bien ? Je pose x égale racine de 1 plus x². Ensuite, je dis que racine de x tend vers plus l'infini quand x va vers plus l'infini. Donc, par composition, j'ai ma limite de f qui est égale à plus l'infini. Ça peut être pratique de poser le x comme variable intermédiaire. Comme ça, je l'ai fait proprement. Ensuite, là, on s'intéresse à moins l'infini. C'est moins évident que plus l'infini. L'énoncé est sympa avec nous. Il va nous donner une petite astuce. Il nous fait décomposer. Il nous dit d'étudier x plus racine de 1 plus x² et montrer que ça tend vers 0 en moins l'infini. Alors là, quand on voit des racines, évidemment, je fais d'abord l'étude rapide, on voit que ce x tend vers moins l'infini. Racine de 1 plus x² tend vers plus l'infini. C'est une forme indéterminée. Je suis coincé pour le moment. Dès qu'il y a des racines, il faut penser à la quantité conjuguée. Je pense à la quantité conjuguée. Je multiplie par ma quantité conjuguée en haut et en bas. Et ça va simplifier. Là, j'ai du x² moins 1 moins x². Les x² sautent. Il ne me reste que moins 1. J'ai bien fait quelque chose du type a plus b fois a moins b qui donne a² moins b². Ici, mon a², c'est x². Et mon b², c'est 1 plus x². Quand je fais la différence, c'est ça. Au dénominateur, j'ai ma quantité conjuguée qui reste. Mais là, le signe est 1 moins. Contrairement au numérateur tout à l'heure où c'était un plus. Là, je sais que je ne vais plus avoir de problème. Je vais avoir moins l'infini, moins l'infini. Ce n'est pas indéterminé, ça fait moins l'infini. Du coup, j'ai un truc du type moins 1 sur moins l'infini. C'est parfait, ça tend vers 0. Aucun problème. Une remarque qui est assez intéressante ici, c'est que ce qu'on aurait pu essayer de faire, mais qui ne fonctionne pas, c'est pour ça que je vous le montre quand même pour voir des fois quand ça ne fonctionne pas, un peu comme si on avait un polynôme. Il nous permet dans des polynômes de lever l'indétermination. Là, je vais essayer de le faire aussi. Je factorise par x, puisque là j'ai du racine de x². C'est à peu près du même ordre que du x. C'est du x² à la puissance 1 demi. Je factorise par x. Attention, comme on s'intéresse au x négatif, c'est égal à moins racine de x². C'est plus parce que le x est négatif, alors que le racine de x² va me donner valeur absolue de x. Voilà pourquoi il y a un moins là. Quand je vais factoriser par x, x tend vers moins l'infini. Ici, j'ai moins 1 moins quelque chose qui tend vers 1. J'ai 1 moins 1, ça tend vers 0. Je suis encore face à une forme indéterminée, je ne peux pas conclure. Cette méthode ne marchait pas. Ce qu'il faut absolument faire ici, c'est bien la quantité conjuguée. Maintenant, ce qu'on nous demande à la question B, c'est de conclure sur F. Là, c'est pareil, on repose par composition. On pose grand x. J'aurais peut-être dû l'écrire. On pose grand x égal à x plus racine de 1 plus x². Par composition, quand petit x tend vers moins l'infini, grand x tend vers 0. La limite de racine de grand x quand grand x tend vers 0, c'est 0. On a bien ce qu'il fallait conclure, c'est-à-dire que la limite de F de x en moins l'infini, c'est 0. Ensuite, tracer l'allure de la courbe de F. Il y a deux méthodes. Soit vous avez le droit à la calculette, soit vous n'avez pas le droit. Il faut quelques valeurs remarquables. Typiquement, en 1. Après, vous pouvez calculer en 2, en 4. Il faut calculer sur certaines valeurs. Là, je vous ai donné le tracé exact. Ça dépend si vous avez le droit à la calculette. En tout cas, on vérifie bien que ça tend en 0 vers moins l'infini. Et là, ça a l'air de tendre vers plus l'infini, en plus l'infini. Voilà pour cet exercice. La petite astuce, c'était la quantité conjuguée. Il faut bien penser quand on utilise des racines. Voilà pour cette correction. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à faire un commentaire dans la FAQ. Merci !

Double racine

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