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Étude TRES complète
Il est important d'écrire en français ce que vous voulez faire, car une racine n'est définie que pour des nombres positifs ou nuls sur R+. Donc, il faut que ce qu'il y a sous la racine soit positif ou nul. En gros, cela signifie que x doit être supérieur à 1 ou inférieur à -1.
En plus de cela, la fonction est définie comme un quotient, donc il faut également s'assurer que la racine de x²-1 soit différente de 0 pour éviter de diviser par 0.
Pour trouver les limites, nous pouvons utiliser deux étapes. Cependant, il est important de ne pas seulement exclure les valeurs -1 et 1, car cela ne fonctionne pas dans tous les cas. Par exemple, si nous prenons x = 0.5, nous obtenons un résultat négatif, ce qui ne fonctionne pas.
L'ensemble de définition (DF) de la fonction comprend quatre bornes. Il est important de faire attention à celles-ci.
Il est également utile de vérifier si la fonction est impaire ou paire, car cela peut réduire le travail à effectuer. Si la fonction est impaire, cela signifie que la courbe de la fonction possède un point de symétrie au point O. Par conséquent, si nous comprenons comment la fonction évolue de 0 à l'infini, nous pouvons automatiquement déduire son évolution de moins l'infini à 0.
Maintenant, passons aux calculs des limites. Nous commencerons par les limites de droite, c'est-à-dire 1 par la droite et l'infini. Lorsque x tend vers l'infini, x²-1 se rapproche de x² et la racine carrée de x² est égale à x. Ainsi, nous obtenons x/x, ce qui est environ égal à 1 lorsque x tend vers l'infini. Par symétrie, nous pouvons en déduire que lorsque x tend vers moins l'infini, la limite de la fonction sera -1.
Pour la limite en 1 par la droite, nous pouvons voir que lorsque x est légèrement supérieur à 1, x²-1 est toujours positif, ce qui signifie que nous pouvons définir la racine carrée. Cela nous donne 1/0+, ce qui est autorisé. Par symétrie, cela signifie que lorsque x tend vers moins 1 par la gauche, la limite de la fonction est également autorisée et égale à -1.
Maintenant, passons à la limite en moins l'infini. Ici, nous devons faire attention à la racine de x², car lorsque x est négatif, la racine de x² devient la valeur absolue de x. Donc, lorsque x tend vers moins l'infini, nous obtenons la valeur absolue de x, qui est légèrement supérieure à 1. Ainsi, nous pouvons dire que lorsque x tend vers moins l'infini, la racine carrée de x²-1 tend vers 0+.
En utilisant ces limites, nous pouvons conclure que la fonction a une asymptote horizontale en y = 1 pour les limites en plus l'infini, une asymptote verticale en y = -1 pour les limites en 1 par la droite, une asymptote verticale en y = -1 pour les limites en 1 par la gauche, et une asymptote verticale en y = -∞ pour les limites en moins l'infini.
