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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

L'exercice en question concerne le calcul d'une somme avec une limite infinie. Il est important de comprendre que c'est la variable x qui tend vers l'infini, pas le nombre d'éléments n de la somme. Pour faciliter le calcul, on peut utiliser la méthode de la quantité conjuguée, qui consiste à prendre une différence de racines. Dans ce cas, les n termes de la somme peuvent être compensés par des racines supplémentaires. En réorganisant les termes, on obtient une identité remarquable qui facilite le calcul. Finalement, en remarquant que tous les termes tendent vers zéro, on peut conclure que la somme tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. Il est important de ne pas se laisser distraire par des erreurs courantes, comme confondre le n avec le x, et de prendre le temps d'analyser calmement les différentes méthodes à appliquer.

Quand on voit ça, on peut se poser des questions. On voit qu'il y a une espèce de limite d'une somme, donc c'est un peu chiant, mais c'est une somme finie quand même. Donc le n, il faut repérer tout de suite le x ici tend vers plus infini. Ça peut être une grosse erreur si vous pensez que c'est le n qui va tendre vers plus infini, c'est un tout autre exercice. Ici on voit tout de suite que c'est x qui tend vers plus infini, donc le nombre d'éléments de ma somme reste fixe. Il s'appelle n, c'est un peu bizarre, mais il reste fixe, il n'évolue pas au cours du temps. Une fois qu'on l'a posé, on l'a posé. x par contre va grandir. Ça, ça nous arrange bien, parce qu'un n qui évolue, le nombre de termes de la somme qui évolue, c'est un enfer. Ce serait vraiment très particulier. Ça s'appelle des séries en l'occurrence, mais... Voilà, donc ici on a de la chance, on a juste le x. On se dit bon, combien de termes j'ai ? Je vois que je pars de x plus 1 jusqu'à x plus n, donc l'exercice me fait comprendre que j'ai bien n termes dans la somme. Deuxième remarque, j'ai des racines. Des racines... avec un moins ici. Une différence de racines, potentiellement, je pense que mon cerveau commence à se connecter direct à la seule chose que je dois entendre quand je vois des racines avec un signe moins, c'est quantité conjugée. Ça, c'est l'espèce de petite astuce, de petite connexion de cerveau dont je parle tout le temps. Il faut absolument qu'on voyait certains éléments, du genre, ouais, une différence de racines, paf, ça tilte, la méthode, c'est quantité conjugée. Ça marche avec pas mal de choses, mais là, c'est un de ceux auxquels on s'attend que vous réagissiez très fort en terminal. On va regarder, on voit n termes, on est content, on voit qu'il y a des racines, on va peut-être utiliser la quantité conjuguée. En vert, c'est toutes mes notions de brouillon, mes idées. Quantité conjuguée, c'est une différence de racines. Est-ce que je prends cette racine moins celle-là ? C'est bizarre, parce que ça, dans ce cas-là, ce n'est pas vraiment exactement une racine. Peut-être qu'il faut rentrer le n dans la racine. Dans ce cas-là, si je fais ça, qu'est-ce que je fais de toutes les autres ? On va dire qu'on aimerait bien avoir pour chaque racine un petit compagnon, une autre racine qu'on enlève. C'est là qu'on comprend que les n termes ici vont être compensés par n termes ici. Toute l'astuce de l'exercice, c'est remarquer que n racine de x, c'est en fait écrit moins racine de x, moins racine de x, moins racine de x, trois petits points, moins racine de x, également, n fois. Quand vous avez ça, l'exercice est fini, parce que tout de suite, vous avez trouvé que tout ça peut se réécrire en utilisant cette écriture-là, en prenant une petite racine à chaque fois, en la mettant avec une racine ici, comme racine de x plus 1, moins racine de x, plus racine de x plus 2, moins racine de x, je mets des parenthèses juste pour les isoler, plus trois petits points, plus le dernier, racine de x plus n, moins racine de x. Et là, en fait, c'est assez facile, il suffit de faire la quantité qu'on voulait partout. Je multiplie chacun des termes par racine de x plus 1, plus racine de x, divisé par la même chose, c'est ça la quantité qu'on voulait, au cas où, il y avait besoin d'un petit rappel. Et j'obtiens donc une identité remarquable au début, au numérateur, qui me fait x plus 1, moins x, j'obtiens donc 1 sur racine de x plus 1, plus racine de x, plus. La deuxième, ça va être la même chose, sauf qu'elle passe d'un 1, j'ai un 2. 2 sur racine de x plus 2, plus racine de x, plus trois petits points, vous avez compris l'idée, plus le dernier, n sur racine de x plus n, plus racine de x. A chaque fois, tous ces termes là tendent vers 0, le tout, c'est une somme de fonctions qui tendent vers 0. Donc je peux dire, le tout, quand x tend vers plus l'infini, tend vers 0, voilà. Donc la réponse, si vous voulez, c'est comme d'hab, l'exercice de Matsub Ingenieur, la réponse tient en une ligne. Le problème, c'est bien la voir. Peut-être que celui-là n'est pas trop compliqué, mais c'est quand même pas simple quand on vous donne ça, parce que déjà, un, je pense qu'on perd 15, 20, voire plus, 15% d'élèves, disons, juste sur l'écriture, ça vous stresse, c'est horrible, c'est moche, le cerveau décroche, on n'arrive plus à penser rationnellement. Pour ceux qui arrivent à voir au-delà de la peur, ensuite, il y a tous ceux qui vont faire l'erreur un peu absurde, un peu de dommage, de croire qu'ici c'est un n, sans voir que c'est un x, et donc ça va les perdre. Et ensuite, quand vous avez passé toutes ces erreurs possibles et tous ces stress potentiels, c'est pas évident, là en plus je vous raconte des trucs, je vais pas faire le malin parce que c'est le genre d'erreur que j'ai fait moi, donc encore une fois, si je les connais, c'est principalement parce que je les ai soit vus chez un étudiant, soit faites moi-même, quand vous avez ça, ensuite, il faut être capable d'analyser la tête froide et voir, ok, j'ai plein de termes, je me rappelle que les racines, dans mon cerveau j'ai la quantité conjuguée donc je vais sûrement l'utiliser, et là ça commence à venir. Donc quand vous allez au-delà de vos peurs, au-delà de vos stress un peu trop rapides, c'est-à-dire les peurs d'écriture moche, on respire, aller trop vite c'est-à-dire on respire encore une fois, on regarde ici que c'est un x, là on peut commencer à se poser et aller analyser dans notre cerveau les différentes méthodes qu'on a apprises, les différents trucs du cours qu'on connaît, genre la quantité conjuguée, et voir comment l'appliquer.

Vers la SUP : Quantité conjuguée

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