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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Définition et Propriétés

Ce cours traite de l'utilisation de l'exponentiel et du logarithme pour résoudre des inéquations avec des exposants. Il mentionne que ces calculs sont notamment utilisés en physique, par exemple pour déterminer la durée à partir de laquelle une certaine quantité d'atomes radioactifs a disparu. Pour résoudre ces équations, on utilise la définition de l'exponentiel pour les puissances. Lorsque l'exposant n'est pas un entier, il est défini comme étant égal à e^(B ln A), où e est la constante d'Euler et ln désigne le logarithme népérien. A partir de cette définition, on résout les équations en utilisant les propriétés du logarithme. Il est important de vérifier la cohérence des signes lors de la résolution des équations.

Alors maintenant on va servir de l'exponentiel et du logarithme pour résoudre des inéquations où l'inconnu c'est un exposant. Alors typiquement vous avez dû rencontrer cette situation en physique où c'est vraiment le genre de calcul qu'on fait typiquement en radioactivité. Chercher la durée à partir de laquelle 80% des atomes radioactifs ont disparu, etc. On a des lois comme ça, ce qu'on appelle les lois géométriques en fait, ou la puissance n, la façon rigoureuse de le résoudre c'est en passant avec la définition de l'exponentiel pour les puissances. N'oublions pas qu'une puissance, A puissance B, c'est parfaitement défini quand B est un entier, ça fait A fois A fois A fois A, mais si B vaut 3,2, qu'est-ce que ça veut dire en fait ? A puissance 3,2, c'est quoi ? C'est A fois A et puis 0,2 de A. Il n'y a pas d'explication, la seule définition qui convient c'est celle avec l'exponentiel logarithme. A puissance B, ça vaut E de B ln de A. Quand l'inconnu est à l'exposant d'une puissance, il faut qu'on revienne à la définition exponentielle. C'est ce que je vais faire ici, 1 cinquième à la puissance n, c'est E de N ln de 1 cinquième. En plus j'utilise les propriétés du logarithme, et ln de 1 cinquième c'est moins ln de 5. Parfait, donc 1 cinquième à la puissance n, j'utilise ce que je viens de dire, ça me fait E de moins N ln de 5, inférieur à 0,01. Là j'ai une exponentielle seule isolée, je la compose par la fonction logarithme, qui est bien strictement croissante sur R, donc je ne change pas le sens des inégalités. J'ai moins N ln de 5, qui est inférieur à N ln de 0,01. Là je multiplie par moins 1 et je divise par ln de 5, n'oublions pas que comme j'ai divisé par moins 1, on change de signe dans l'inégalité. Donc je me retrouve avec N qui est supérieur à N ln de 0,01 sur ln de 5. Alors moi ce que je vous conseille dans ces cas-là, c'est pour être sûr que vous n'êtes pas trompé dans les signes, vérifier si c'est cohérent. Là on voit qu'on a 1 cinquième, je vois que c'est une suite géométrique, je sais que quand N devient grand, ça tend vers 0. Donc ça sera inférieur à 0,01 à partir d'un certain ordre, c'est-à-dire quand N est plus grand que quelque chose. Donc c'est cohérent de trouver ici un plus grand que. Si j'avais trouvé un plus petit que, je me serais dit « Ah bah non, mince, je me suis trompé quelque part dans mes signes, j'ai pas dû changer ou j'ai changé une fois en trop. » Donc là on regarde nos calculs. Mais c'est pas mal de vérifier que ça paraît cohérent. 1,22 puissance N supérieur à 10 puissance 5. Là pareil, je repasse à la notation exponentielle. Donc E de N ln de 1,2, là ça peut valoir le coup pour le 10 puissance 5 aussi, ça fait E de 5 ln de 10. Je le compose par ln, qui est toujours une fonction stationnement correspondante, donc ça ne change pas le sens de mon inégalité. Je m'en trouve avec N supérieur à 5 ln de 10 sur ln de 1,2. Et là encore une fois, c'est cohérent en fait. Voilà, c'est tout en fait pour cette méthode-là. Donc revenir moral de l'histoire, juste simplement revenir à la définition de la puissance avec l'exponentielle et le logarithme, et après vous appliquez les méthodes précédentes. Voilà, si vous avez des questions, n'hésitez pas d'aller visiter la FAQ.

Exposant=Inconnue ?

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