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Analyse Terminale

Définition et Propriétés

Ce cours traite de l'étude du logarithme et de sa tangente en un point précis. On nous demande de trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. La fonction logarithme est dérivable sur R*, sa dérivée est 1/x et évaluée en 1, cela donne 1.

La position relative de la courbe par rapport à sa tangente peut être déterminée en étudiant la concavité de la fonction. La dérivée seconde est 1/x^2 et est strictement négative pour tout x positif. Cela signifie que la fonction est concave et donc en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle au point d'abscisse 1.

Une autre approche consiste à étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée. On pose une fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. En étudiant le signe de g'(x) = 1/(x-1), on peut construire un tableau de variations qui montre que g(x) est inférieure à 0 pour tout x, avec égalité en x=1.

En conclusion, la tangente au point d'abscisse 1 de la fonction logarithme a pour équation y = x - 1. Il est préférable de considérer la concavité de la fonction pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente.

Maintenant on va disséquer un peu le logarithme et étudier sa tangente la plus connue, celle au point d'abscisse 1, de la même manière que la tangente la plus connue de l'exponential c'est celle d'abscisse 0. On va regarder tout ça, comme ça quand vous tombez dessus en exercice, vous saurez parfaitement de quoi il s'agit. On va étudier la fonction logarithme, et on nous demande de trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. Je fais les choses bien, la fonction ln est dérivable sur R étoile plus, f' de x, je pose f' de x, f' de x c'est 1 sur x, donc en 1 si je l'évalue ça fait 1, j'utilise ma formule que je connais par coeur de l'équation de la tangente, y égale f' de 1 fois x moins 1 plus f de 1, si je simplifie ça fait y égale x moins 1. Ensuite on me demande la position relative de cette courbe par rapport à sa tangente. Il y a deux manières de faire, quand on pense position relative d'une courbe à la tangente, c'est pas mal de penser à la convexité et à la concavité bien sûr. f de x équivalent à ln de x, f' je l'ai calculé sur x, f'' ça va au moins 1 sur x². Pour toute x par un zéro c'est strictement négatif et donc ma fonction est concave. Pour une fonction concave, la courbe est en dessous de toutes ses tangentes sur tout l'intervalle où elle est concave, en particulier la tangente au point de la piste 1, donc elle est en dessous de la droite. Là je le matérialise graphiquement, on voit bien qu'elle est en dessous de sa tangente. D'ailleurs elle serait en dessous de toutes les tangentes. Donc celle-là, celle-là, elle est en dessous de toutes ses tangentes. Autre méthode, si on pense pas à la convexité, c'est de faire une étude de fonction classique. Et quand on fait ça, quand on dit montrer que quelque chose est supérieur à quelque chose, on étudie la différence, c'est ce qu'il y a de plus simple. Donc là je pose une fonction auxiliaire qui est g de x égale ln de x moins x moins 1, et ce que je veux c'est étudier son signe, donc pour étudier son signe je vais étudier ses variations, et pour étudier ses variations je vais regarder sa dérivée. Donc je dérive g, je vois que ça fait 1 sur x moins 1, je peux tout mettre au même déterminateur parce que l'important c'est le signe, donc pour x supérieur à 0, ça c'est positif, et ce qu'il y a au-dessus, ça dépend si c'est en dessous ou au-dessus de 1. Donc finalement pour x appartenant à 0, 1, j'ai pris mes positives, et pour x supérieur à 1, j'ai pris mes négatives. Donc d'où le tableau de variation de g, elle est d'abord croissante puis décroissante, et en fait je calcule g de 1 qui vaut 0. Donc là j'ai même pas besoin d'étudier les limites parce que peu importe ce que ça fait, ce que je vois c'est que c'est négatif ou nul en fait, parce que le maximum est atteint 0. Donc pour tout x, j'ai g de x qui est inférieur à 0, donc c'est-à-dire que la différence, évidemment ce point d'égalité, il est atteint où ? Il est atteint en x égale 1, le point de tangence, et là il y a l'égalité. Donc vous voyez que c'est un peu plus long, c'est quand même beaucoup plus simple de penser à la concavité si on y pense, donc toujours penser à la convexité, concavité dans ces cas-là. Donc voilà pour la fonction logarithme, et sa tangente la plus connue, celle en 1, qui est d'équation x-1. Voilà pour cette méthode, donc si vous rencontrez ça en exercice, maintenant vous saurez tout de suite, vous reconnaîtrez la tangente connue, et dont on fait souvent intervenir dans les calculs. Voilà pour la correction de méthode.

Courbe et Tangentes

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