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Une méthode pour étudier la convergence d'une suite d'intégrales est présentée dans cette transcription de vidéo. On nous donne une suite de fonctions qui vaut 1 plus t à la puissance n, et on cherche à trouver sa convergence. 

La première méthode consiste à encadrer cette fonction entre 1 et 1 moins t à la puissance n. On construit des inégalités en utilisant les propriétés des fonctions croissantes et décroissantes. Cependant, cette méthode ne fonctionne pas pour la deuxième inégalité. 

Donc, on utilise une deuxième méthode plus instinctive, qui consiste à faire la différence entre les deux termes de l'inégalité. On met tout au même dénominateur et on simplifie pour montrer que cette expression est positive. Ainsi, on conclut que 1 moins t à la puissance n est plus petit que 1 sur 1 plus t à la puissance n. 

Ensuite, on calcule l'intégrale de 1 moins t à la puissance n de 0 à 1 en utilisant la linéarité de l'intégrale. On trouve que cette intégrale est égale à n sur n plus 1. 

En utilisant l'encadrement précédemment obtenu, on déduit un encadrement pour l'intégrale im. On montre ensuite que la suite im converge vers 1 en utilisant le théorème d'encadrement.

Dernière méthode qui n'est pas la plus simple, on va étudier une suite d'intégrales et essayer de trouver sa convergence. Là on nous pose ce qu'on appelle une suite de fonctions fn de t qui vaut 1 sur 1 plus t à la puissance n et in qui va être l'intégrale de 0 à 1 de cette fonction fn. L'exercice nous guide, on va essayer d'encadrer cette fonction entre 1 et 1 moins t à la puissance n. Première méthode, on construit ses inégalités, je pars de t, je sais que t est compris entre 0 et 1, je mets la puissance n qui est une fonction croissante donc pas de problème, ça ne change pas le sens des inégalités, je rajoute 1, donc j'ai 1 plus t à la puissance n qui est compris entre 1 et 2, je passe à l'inverse, je compose par la fonction inverse qui est décroissante, je trouve que 1,5 est compris entre 1 sur 1 plus t à la puissance n qui est plus petit que 1, donc j'ai le premier bout de mon inégalité. Maintenant le deuxième, pour le deuxième je repars, là j'ai mon t à la puissance n, je vais repartir de là, ce qu'il me faut c'est du moins t à la puissance n, donc je multiplie par moins 1, ça me donne ça, j'essaye de sommer avec l'autre inégalité que j'avais obtenue initialement, ça me fait 1 moins t à la puissance n qui est plus petit que 1 plus t à la puissance n. Ça en fait, je dis ah bah oui mince, c'était plutôt évident, donc je n'arrive pas trop à obtenir l'inverse, ça ne marche pas là, en essayant de la construire, je tourne un peu en rond. Donc la première méthode marchait bien pour la première inégalité, mais pas pour la deuxième, je tourne en rond. Donc là, dans ce cas-là, si je n'arrive pas à la construire, ce n'est pas grave, je fais la méthode un peu, on va dire, qui est la plus instinctive, c'est je fais la différence. Tu dis le terme 1 sur 1 plus t à la puissance n, moins 1 moins t à la puissance n, et ça il faut que je montre du coup que c'est supérieur à 0. Donc là, l'idée c'est de mettre tout au même dénominateur, et là, c'est là où le coup de bol, ça se passe bien, ah je reconnais un truc du type a-b fois a plus b, donc ça me fait du a² moins b². Le dénominateur, alors là j'ai fait une petite erreur ici, ce n'est pas du t², c'est du t à la puissance n, voilà. Le dénominateur, je m'en fiche un peu parce qu'il est positif, et là quand je simplifie, je trouve du t à la puissance de n qui est positif aussi, donc cette expression-là est positive. Et donc j'en déduis que j'ai bien 1 moins t à la puissance n qui est plus petit que 1 sur 1 plus t à la puissance n. Donc finalement j'ai bien mes deux encadrements, et je trouve que je peux répondre à la question posée, et ça m'a permis d'encadrer cette fonction fn de t, ça c'est fn de t. Donc maintenant j'ai un encadrement de fn, ok, très bien. Ensuite, c'est un peu petit tout ça, on va peut-être un peu grossir, hop. Donc là ensuite, on me demande de calculer l'intégrale de 0 à 1 de 1 moins t à la puissance n. Bon là j'utilise la linéarité de l'intégrale, 1 moins t à la puissance n c'est un polynôme, ça s'intègre très très bien, je trouve les primitifs sans problème, c'est t, et t à la puissance n plus 1 sur n plus 1, bon bah je fais le calcul entre 0 et 1 d'après le théorème fondamental, et je trouve 1 moins 1 sur n plus 1, et si je mets le même déliminateur ça fait n sur n plus 1. Et donc il faut que j'en déduise maintenant un encadrement de im. Évidemment comme c'est en déduire, attention, en déduire ça veut dire vraiment grâce à la question précédente, je vois que le 1 moins t à la puissance n c'est quand même quelque chose que j'avais dans mon encadrement, donc en fait je vais en déduire juste, je vais devoir intégrer mon encadrement. Si j'ai la monotonie de l'intégrale, je repars de mon encadrement, je calcule l'intégrale de chacune de ces fonctions de 0 à 1, donc ça c'est mon intégrale im, et l'intégrale de 0 à 1 de 1 c'est facile ça fait 1, et l'intégrale de 0 à 1 de 1 moins t à la puissance n, on vient de faire le calcul, c'est n sur n plus 1. Donc finalement j'ai pu encadrer im, et là finalement je suis dans un exercice de suite très classique, j'ai encadré ma suite im, il faut qu'on montre maintenant qu'elle converge et donner sa limite. Là on voit bien que quand je réécris n sur n plus 1 de la forme 1 moins 1 sur n plus 1, ça tend vers 1, donc là j'ai deux suites qui tendent chacune vers 1, donc là je vois tout de suite qu'il faut utiliser le théorème d'encadrement. D'après le théorème d'encadrement, j'ai les deux informations n'oublie pas que le théorème d'encadrement me donne les deux infos, non seulement que im converge, et en plus qu'elle tend vers 1. Voilà un exemple de méthode pour les suites d'intégrales.

Suite d'Intégrales

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