Home

MPSI/PCSI

Révisions Maths lycée

Arithmétique Maths expertes

Nombres Premiers

Dans cet exercice, nous devons résoudre l'équation x*(x+1)*(2x+1) = 84 pour trouver les solutions entières. Pour cela, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers de 84 (2^2 * 3 * 7). Ensuite, nous cherchons toutes les possibilités d'écrire 84 comme un produit de 3 facteurs distincts. La première possibilité (2*6*7) est exclue car elle ne satisfait pas la condition de nombres consécutifs. La deuxième possibilité (2*3*14) est également exclue car elle contredit l'équation. Enfin, la troisième possibilité (3*4*7) correspond à x=3, donc nous avons trouvé la solution x=3.

Salut, bienvenue dans cet exercice dans lequel on va mélanger décomposition en facteur premier et équation. Là, ce qu'on veut, c'est résoudre dans n cette équation, ça veut dire qu'on veut trouver les solutions entières de l'équation x fois x plus 1 fois 2x plus 1 égale 84. Donc là, on manipule des entiers, on a un produit est égal à 84, il faut tout de suite penser à faire la décomposition en facteur premier parce que c'est le seul moyen où on va avoir un produit d'entier est égal à 84. Donc là, on fait la décomposition de 84. 84, c'est 2 fois 42, donc 2 fois 6 fois 7, 2 et 7 sont premiers, il ne reste plus qu'à décomposer 6, donc ça fait 2 fois 2 fois 3 fois 7, on regroupe ça pour afficher qu'un nombre premier à chaque fois avec les puissances correspondantes, ce qui nous fait 2 au carré fois 3 fois 7 pour 84. Donc maintenant, on sait que x fois x plus 1 fois 2x plus 1 égale 84. Donc là, on a 1, 2, 3 facteurs égales 84. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va voir toutes les possibilités d'écriture de 84 comme un produit de 3 facteurs. Donc on va écrire 84 comme un produit de 3 facteurs distincts parce que x est différent de x plus 1 qui est différent de 2x plus 1, forcément. Donc on veut avoir un produit de 3 facteurs distincts. Donc 84, on manipule un peu ça, donc on peut avoir 2 fois 6 fois 7. Ça, c'est exclu parce que dans le produit, on a x et x plus 1. x et x plus 1 sont deux nombres consécutifs parce qu'on rappelle que x est entier. Donc x et x plus 1 sont consécutifs, mais 2x plus 1, c'est le plus grand des 3 facteurs. Donc là, dans le produit de 3 nombres entiers qui doit faire 84, on doit avoir 2 nombres consécutifs fois un autre nombre qui est plus grand. Donc là, on a bien nos 2 nombres consécutifs, mais l'autre nombre, c'est 2 et il est plus petit. Donc ça, c'est exclu. Ensuite, l'autre possibilité, c'est on a 2 fois 3 fois 14. Donc là, on a bien un produit de 2 nombres consécutifs fois un autre nombre plus grand. OK, c'est la possibilité numéro 1. Ou sinon, on a 3 fois 4 fois 7. Donc là, on a encore 2 nombres consécutifs fois un plus grand. Et ça, c'est la deuxième possibilité. Bon, il y a deux possibilités. On va étudier chacune d'elles indépendamment. Donc la première possibilité, 2 fois 3 fois 4. Donc ça voudrait dire que x fois x plus 1 fois 2x plus 1 est égal à 2 fois 3 fois 14. Et donc, là tout de suite, on identifie x et x plus 1. Donc ça veut dire que x est égal à 2, x plus 1 est égal à 3. Mais du coup, on doit voir que 2x plus 1 est égal à 14. Ça contredit le fait que x soit égal à 2. Parce que si x est égal à 2, 2x plus 1, c'est égal à 2 fois 2 plus 1. Donc c'est égal à 5, et non à 14. Donc on ne retient pas la possibilité numéro 1. Bon, il reste la possibilité numéro 2. On va voir ce qu'il en est. On espère que ça va marcher parce que c'est la dernière piste qu'on est. On va quand même vérifier. Donc là, 3 fois 4 fois 7, donc même raisonnement, ça nous dit que x est égal à 3, x plus 1 est égal à 4, et 2x plus 1 est égal à 7. Et bien là, ça marche, parce que si x est égal à 3, donc on a bien x plus 1 est égal à 4, ça va OK. Mais 2x plus 1, ça fait 2 fois 3 plus 1, ça fait bien 7. Et ça correspond bien à ce qu'on trouve. Donc voilà. Et donc on a résolu cette équation rapidement. x est égal à 3. Pour résoudre cette équation dans n, x fois x plus 1 fois 2x plus 1 est égal à 84.

Décomposition et équation

RELATED

Recommended videos

Décomposition en facteurs premiers

Critère d'arrêt : n est premier ?

Démo infinité des premiers

Nos années

Nos principales matières