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Nombres Premiers

Dans cet exercice, on utilise le théorème de Fermat pour démontrer qu'un nombre spécifique est divisible par un nombre premier P. Le théorème de Fermat dit que si A est un nombre entier et P est un nombre premier qui ne divise pas A, alors A puissance P moins 1 est congruent à 1 modulo P.

Pour prouver que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est divisible par P, nous utilisons le théorème de Fermat. Puisque P est un nombre premier différent de 3, cela signifie que P ne divise pas 3, donc nous pouvons appliquer le théorème de Fermat avec 3 et P. 

En utilisant le petit théorème de Fermat, nous obtenons que 3 puissance P moins 1 est congruent à 1 modulo P. Ensuite, nous multiplions cette congruence par 3 puissance N plus 1 et passons tout de l'autre côté de l'équation pour obtenir 0. Cela nous donne 3 puissance N plus 1 fois 3 puissance P moins 1 moins 3 puissance N plus 1, ce qui est égal à 3 puissance N plus P. 

Finalement, nous avons démontré que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congruent à 0 modulo P, ce qui prouve que ce nombre est divisible par P.

Salut ! Alors dans cet exercice, on va utiliser le théorème de Fermat mais pour l'instant on va voir quand est-ce qu'on en a besoin et comment on l'utilise. Donc on nous dit, P c'est un nombre premier différent de 3, et il faut démontrer que pour tout n appartenant à N, 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est divisible par P. Là ça ne saute pas forcément aux yeux, mais on va utiliser du théorème de Fermat, parce qu'on a une soustraction et on voit que si on factorise par 3 puissance N, on se retrouve avec quasiment le théorème de Fermat explicite sous nos yeux. C'est ça qu'on va utiliser. Pour rappel, le petit théorème de Fermat, si on a A, un nombre entier, P, un nombre premier qui ne divise pas A, alors on a que A puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. C'est ça qu'on va utiliser. Donc là, ce qu'on veut montrer, c'est que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congrue à 0 modulo P. On traduit la divisibilité en congruence. Donc, on va voir si on peut utiliser le théorème de Fermat. On nous précise dans l'énoncé un nombre premier différent de 3. Étant donné que c'est un nombre premier différent de 3 et que 3 est un nombre premier, ça veut tout simplement dire que P ne divise pas 3. Donc on peut appliquer le théorème de Fermat avec 3 et P. Donc P est premier différent de 3. D'après le petit théorème de Fermat, on écrit le petit théorème de Fermat, on a 3 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. Ensuite, ce qu'on fait, c'est qu'on va faire apparaître ce résultat-là. Donc on veut faire apparaître la puissance N plus P et la puissance N plus 1, enfin le 3 puissance N plus 1. Donc on va multiplier cette congruence par 3 puissance N plus 1. Avant, on va tout passer d'un côté pour retrouver le 0. Et donc maintenant, on multiplie par 3 puissance N plus 1. Et on se retrouve avec 3 puissance N plus 1 fois 3 puissance P moins 1 moins 3 puissance N plus 1. Donc le 3 puissance N plus 1 qu'on cherchait, on l'a. Et en fait, on additionne les puissances, vu que c'est 3 à 2 puissances différentes en produit, on additionne les puissances. Ça fait N plus 1 plus P moins 1, ça fait N plus P. Et donc finalement, on a bien montré que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congruent à 0 modulo P.

Utiliser Fermat 1/2

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