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Nombres Premiers

Dans cet exercice, on utilise le petit théorème de Fermat pour démontrer différentes divisibilités. Tout d’abord, on montre que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 29 en utilisant le petit théorème de Fermat. Ensuite, on prouve que pour chaque n, 4 puissance n moins 1 est divisible par 3. On utilise la congruence entre 4 et 1 modulo 3 pour justifier cette divisibilité. De plus, on démontre que pour tout k, 4 puissance 4k moins 1 est divisible à la fois par 5 et par 17 en enchaînant les congruences. Enfin, en utilisant la factorisation de 28 en 4 fois 7, on conclut que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par les nombres premiers 3, 5, 17 et 29.

Salut ! Dans cet exercice, on va utiliser le théorème de Fermat, le petit théorème de Fermat. Donc première question, on nous dit montrer que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 29. Là, ça saute vraiment aux yeux qu'il s'agit du petit théorème de Fermat parce que je fais un petit rappel. Donc le petit théorème de Fermat, si on a A, un nombre entier, P, un nombre premier qui ne divise pas A, on n'a qu'A puissance P moins 1, qui convient à 1 modulo P. Donc, une autre façon de le voir, c'est si on passe le 1 de l'autre côté, ça fait A puissance P moins 1, moins 1, congrue à 0 modulo P, donc divisible par P. Donc là, c'est ce qu'on a. Ici, on retrouve le P moins 1, le P et le A puissance P moins 1, moins 1 du coup. Bon, clairement, c'est le petit théorème de Fermat qu'il faut utiliser ici. Donc c'est ce qu'on va faire. Donc là, il faut montrer ce résultat-là. Il n'y a plus qu'à dérouler les hypothèses. 29, c'est un nombre premier. 29 ne divise pas 4. Donc, d'après le petit théorème de Fermat, 4 puissance 28 est congrue à 1 modulo 29. 28 étant 29 moins 1. Donc, en passant le 1 de l'autre côté, 4 puissance 28 moins 1 est congrue à 0 modulo 29. Donc, en gros, 29 divise 4 puissance 28 moins 1. Deuxième question. On nous dit, montrez que pour toute n, 4 puissance n moins 1 est divisible par 3. Là, il n'y a pas forcément de théorème de Fermat à utiliser, parce que la puissance, on ne la connaît pas, et surtout, on nous dit pour toute n. Donc, dans le théorème de Fermat, la puissance doit forcément être P moins 1. Donc là, ce serait 2. Donc, ce n'est pas forcément le théorème de Fermat qu'il faut utiliser. On va voir ce qu'on peut utiliser. Donc, on va montrer que 4 puissance n moins 1 est congrue à 0 modulo 3. Alors, 4, on sait qu'il est congru à 1 modulo 3. 4, c'est 3 fois 1 plus 1, donc il est congru à 1. Donc, pour toute n, 4 puissance n est congrue à 1 puissance n. 1 puissance n, c'est 1. Donc, 4 puissance n est congrue à 1. En le passant de l'autre côté, on a directement le résultat qui nous intéresse. Ça veut dire que 4 puissance n moins 1 est congrue à 0 modulo 3. Donc, en gros, il est divisible par 3. Ensuite, on veut montrer que, pour tout k, 4 puissance 4k moins 1 est divisible par 5 et par 17. Donc là, c'est pareil, on va enchaîner les congruences parce qu'encore une fois, la puissance va varier, donc on ne va pas utiliser le théorème de Fermat. La puissance va varier, donc on va juste enchaîner les congruences pour répondre à la question. Donc, on va voir déjà par 5. Donc, 4 est congrue à moins 1 modulo 5. Donc, 4 au carré est congrue à moins 1 au carré, donc à 1 modulo 5. Donc, 4 puissance 4, c'est congrue à 4 au carré au carré. D'accord ? 4 au carré, le tout au carré. Donc ça, ça fait 1 au carré, c'est égal à 1. Donc, on a bien que 4 puissance 4 est congrue à 1 modulo 5. Et donc, en mettant cette congruence à la puissance k, on a que 4 puissance 4 puissance k est congrue à 1 puissance k. Et donc, on a quasiment fini. Pareil que tout à l'heure, 1 puissance k, c'est 1. On le passe de l'autre côté, ça nous fait moins 1. Donc, on a 4 puissance 4 k moins 1 congrue à 0 modulo 5. Donc, voilà pour la divisibilité par 5. Il reste la divisibilité, on nous demande, par 17. On va faire un raisonnement très similaire, mais avec 17. Donc, on en est là. Donc, on va montrer que 4 puissance 4 k moins 1 est congrue à 0 modulo 17. Donc, 4 au carré, c'est 16. C'est congrue à moins 1 modulo 17. On passe au carré. Donc, on a 4 puissance 4 congrue à moins 1 au carré. Donc, à 1 modulo 17. Pareil, on met tout ça à la puissance k. Et on se retrouve avec 4 puissance 4 k congrue à 1 puissance k. Mais du coup, 1 modulo 17. On passe de l'autre côté. Ça nous fait 4 puissance 4 k moins 1 congrue à 0 modulo 17. Et donc, voilà. On a aussi la divisibilité par 17. Dernière question, on nous dit en déduire 4 diviseurs premiers de 4 puissance 28 moins 1. Donc, voilà. Alors, étant donné que 28, on peut l'écrire comme 4 fois 7. On est dans ce cas de figure-là, avec k égale 7. Donc, très rapidement, on conclut que 4 puissance 28, c'est divisible par 3, 5, 17 et 29. En se basant sur les questions précédentes.

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