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Congruence : équation degré 2
Cet exercice porte sur la résolution d'une équation du second degré en congruence, plus précisément l'équation x²-2x+2 ≡ 0 (mod 17). Tout d'abord, on nous demande de prouver que la valeur alpha égale à 5 est une solution de l'équation. En remplaçant x par 5 dans l'équation, on trouve que 5²-2(5)+2 = 17, qui est congru à 0 modulo 17. Donc, oui, alpha est bien une solution de l'équation.
Ensuite, on nous demande de trouver toutes les solutions de l'équation. On pose donc "grand x" égal à "petit x" moins alpha. En remplaçant petit x par grand x + alpha dans l'équation initiale, on obtient une nouvelle équation en "grand x". Après simplification, cette équation devient grand x² + 8x ≡ 0 (mod 17). En factorisant l'expression, on obtient grand x(grand x + 8) ≡ 0 (mod 17). Comme 17 est un nombre premier, d'après le lemme de Gauss, cela signifie que 17 divise soit grand x, soit grand x + 8. Donc il y a deux possibilités à étudier.
La possibilité numéro 1 est lorsque 17 divise grand x, ce qui implique que petit x ≡ 5 (mod 17).
La possibilité numéro 2 est lorsque 17 divise grand x + 8, ce qui implique que petit x ≡ 14 (mod 17).
Ainsi, les solutions de l'équation sont soit petit x ≡ 5 (mod 17), soit petit x ≡ 14 (mod 17).
