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Hérédité : comment démarrer ?
La démonstration par récurrence est utilisée pour montrer l'hérédité dans un problème donné. Il existe deux méthodes possibles pour faire le lien entre l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut démontrer.
Dans l'exemple donné, la suite est définie par récurrence avec U0=5 et Un+1=3Un+6. L'objectif est de montrer que Un est strictement positif pour tout n.
Pour cela, on pose P2n comme hypothèse, c'est-à-dire que Un est strictement supérieur à 0. On va montrer que P2n est vrai pour tout n.
Dans la phase d'initialisation, aucun problème n'est rencontré car U0=5.
Ensuite, vient la phase d'hérédité. On part de l'hypothèse P2n, c'est-à-dire que Un est supérieur à 0, et on veut montrer que Pn+1 est vrai, c'est-à-dire que Un+1 est supérieur à 0.
On peut utiliser deux méthodes possibles pour cela. Soit on part de l'hypothèse de récurrence et on construit Un+1 à partir de Un en multipliant par 3. Ainsi, 3Un+6 est supérieur à 6, qui est lui-même supérieur à 0. Donc Un+1 est supérieur à 0.
Sinon, on peut partir de Pn+1 directement, c'est-à-dire Un+1, et dire que Un+1=3Un+6. Comme Un est supérieur à 0, tout ce qui est supérieur à 0 est également vrai. Donc Un+1 est supérieur à 0.
Les deux méthodes sont possibles, cela dépend de l'exercice. Si on rencontre des difficultés avec une méthode, on peut essayer l'autre.
En conclusion, la démonstration par récurrence permet de montrer l'hérédité dans un problème donné en utilisant deux méthodes possibles. Si des questions subsistent, il est conseillé de consulter la FAQ.
