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Analyse Terminale

Récurrence

Ce cours porte sur une démonstration mathématique par récurrence. L'auteur montre que pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, une certaine propriété est vraie. La démonstration se fait en deux étapes: l'initialisation et l'hérédité. 

Dans l'initialisation, l'auteur vérifie que la propriété est vraie pour n=1. Il trouve que cela est en effet le cas. 

Dans l'étape d'hérédité, l'auteur suppose que la propriété est vraie pour n=k, puis il cherche à prouver qu'elle est également vraie pour n=k+1. 

Pour cela, il écrit l'expression de S(k+1) en utilisant l'hypothèse de récurrence, puis il simplifie cette expression pour la comparer à ce qu'il veut montrer. Il utilise une règle d'inégalité et une règle de simplification pour arriver à la conclusion que S(k+1) est inférieur ou égal à 2 - 1/(k+1).

En conclusion, l'auteur démontre que la propriété est vraie pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels.

Si on appelle ça S n encore une fois, je nomme toujours les choses. Montrons par récurrence que ce truc là est vrai. Vous ne voyez peut-être pas tout ce qui est écrit. En gros, il y a écrit par récurrence quelque soit n appartient à n étoiles. Je peux réduire la taille du truc, je peux le mettre là. Donc on va regarder par récurrence, on commence, on va écrire n égale 1, vu que c'est n étoiles. Pour n égale 1, S n égale, donc on n'a qu'à regarder, pour n égale n, 1, 2, 3, j'ai n termes dans la somme. Donc pour n égale 1, j'ai 1 terme dans la somme, comme ça on ne se trompe pas. Donc j'ai 1. Or, 2 moins 1 sur 1 égale 1. Je prends tout ça et je dis donc, c'est pas S n, c'est S 1, j'ai bien S 1 qui est inférieur ou égal à 2 moins 1 sur 1, vu que 1 est égal à 1, c'est vrai. Donc c'est démontré. Vous allez me dire, oui mais c'est ridicule, mais non, parce que là on montre bien qu'on a un côté et l'autre de l'égalité, ou l'inégalité en l'occurrence ici. Hérédité. Là je me perds moi-même dans mes étapes, j'ai même pas écrit mon fameux init. Donc init, initialisation, hop, on l'écrit bien. Initialisation, très bien, hop, hérédité. Hérédité, brouillon, on a 1 plus 1 demi au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré, plus petit que 2 moins 1 sur n, on veut. Encore une fois, c'est vraiment pour cadrer votre démonstration que je vous dis de faire ça. 1 plus 1 demi au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré plus celui d'après, et on sent déjà qu'on va pouvoir utiliser le fait qu'on reconnaît ici cet élément-là, on veut que ça soit plus petit ou égal à 2 moins 1 sur n plus 1. Ok, très bien, on va regarder, on va partir de Sn plus 1 donc, égal 1 plus 1 sur 2 au carré plus 3 petits points plus 1 sur n carré plus 1 sur n plus 1 au carré, égal, magnifique, Sn plus 1 sur n plus 1 au carré. Et moi je sais que tout ça, hypothèse de récurrence, je vais mettre, je ne sais pas, en noir, Hr, je peux écrire que Hr Sn est plus petite que ce que je veux, 2 moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré. Bon, alors moi je vais aller voir ce que je veux, ce que je veux c'est ça, moi je veux ce truc-là. Je me dis, est-ce que ça, enfin je veux en gros pouvoir écrire ça. Ça. On veut pouvoir écrire ça en gros. Donc, je vais utiliser le fait que je veux ça et essayer de me dire peut-être que ce machin est vrai. Donc j'aimerais, vous savez j'aimerais, je vais l'écrire comme ça, c'est comme ça qu'il faut réfléchir de toute façon, j'aimerais 2 moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré plus petit que 2 moins 1 sur n plus 1. Bon regardez, ça c'est quoi ? Si et seulement si. Ou en fait vous pourrez même l'écrire en vert, parce que si c'est pas en vert, pas en brouillon, si c'est pas, je vais le mettre dans la bonne couleur, si en soi c'est un raisonnement par équivalence, on pourrait mettre un truc genre or, on a ça qui est plus petit que ça, si et seulement si. On va vérifier si on n'arrive pas à un truc qui est vrai et simple à la fin. Donc qu'est-ce que je peux faire déjà ? Je peux virer, déjà je vais mettre ça en, bon aller en verse pas mal. Je vais virer les deux, les deux ça dégage. Si et seulement si, alors ben moins 1 sur n plus 1 sur n plus 1 carré, et plus petit que moins 1 sur n plus 1, ok ? Si et seulement si, alors je vais mettre les trucs un peu mieux, j'ai 1 sur n plus 1 carré, plus petit que, 1 sur n moins 1 sur n plus 1, que je peux mettre au même nominateur qui vaut, n plus 1 moins n sur n n plus 1, égal, ben les n sont bons, hop je mets ça ici, là ça fait, qu'est-ce qu'il s'est passé ici je sais pas, là ça fait 1 sur n n plus 1. Ok c'est très moche je vais réécrire ça, 1 sur n n plus 1. Bon ben si et seulement si, j'ai donc 1 sur n plus 1 au carré plus petit que 1 sur n n plus 1, j'ai des inverses, là je vais utiliser la règle qui dit que 1 sur a plus petit que 1 sur b, si et seulement si, b plus petit que a, pour des noms a et b positifs. Pour des a et b positifs, j'ai ça, a, b, positif, j'ai ce truc qui revient. Je vais utiliser ça ici, 1 sur a plus petit que 1 sur b, si et seulement si, b plus petit que a, donc là c'est la même chose, je vais l'utiliser ici, ben si et seulement si, n n plus 1 est plus petit que n plus 1 au carré. Ben oui mais ça n plus 1 au carré c'est n plus 1 fois n plus 1. Bon ben oui, vrai. Vrai, donc équivalent, ça veut dire vérité ici, vérité ici, vérité ici, voilà. Donc en gros, ouais j'ai peut-être pas utilisé autant ça, mais j'ai été voir ce que je voulais, c'est ça que j'ai fait, et ça m'a permis, en prenant ce que je voulais, de déterminer la réponse. J'ai pris le point où je suis arrivé, j'ai pris ce que je veux, ce que je sais que je veux atteindre, et voilà, ensuite j'ai pu analyser la situation, et faire juste de la petite comparaison de réel. Donc en gros c'est bon, je peux conclure, donc, S n plus 1 inférieur égal à 2 moins 1 sur n plus 1. Yay ! Conclusion, la propriété démontrée, etc. etc. Bon ça vous l'écrivez, je vais pas faire ça à chaque fois. Vous l'écrivez bien, etc. Sinon il y a moyen que ça devienne un froc un peu vénère, vous avez moins 50% des points, parce que pas de conclusion, donc faites-le encore une fois.

Majoration 'simple'

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