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Analyse Terminale

Définition et Propriétés

Dans ce cours, nous utilisons l'exponentiel et le logarithme pour résoudre des inéquations avec un exposant. Cela est souvent rencontré en physique pour des calculs liés à la radioactivité, comme la recherche de la durée après laquelle 80% des atomes radioactifs ont disparu.

Nous utilisons la définition de l'exponentiel pour les puissances, car cela n'est pas clairement défini lorsque l'exposant est un nombre décimal. La formule correcte pour A puissance B est E de B ln de A.

En utilisant cette définition, nous résolvons l'inéquation 1/5 puissance n < 0,01. Nous isolons l'exponentielle et utilisons ensuite des propriétés du logarithme pour simplifier l'expression. Finalement, nous trouvons que n est supérieur à ln(0,01) / ln(5).

Pour vérifier que nos résultats sont cohérents, nous observons que 1/5 est une suite géométrique qui tend vers 0 lorsque n devient grand. Donc, il est cohérent de trouver n supérieur à un certain seuil.

Nous appliquons la même méthode pour résoudre une autre inéquation, 1,22 puissance n > 10 puissance 5. En utilisant le même processus, nous trouvons que n est supérieur à ln(10) / ln(1,2), ce qui est également cohérent.

Le conseil général est de revenir à la définition exponentielle et logarithmique pour résoudre des inéquations avec des exposants, puis d'appliquer les méthodes précédentes. En cas de doute sur les signes, il est recommandé de vérifier si les résultats sont cohérents.

N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.

Alors maintenant on va servir de l'exponentiel et du logarithme pour résoudre des inéquations où l'inconnu c'est un exposant. Alors typiquement vous avez dû rencontrer cette situation en physique où c'est vraiment le genre de calcul qu'on fait typiquement en radioactivité. Chercher la durée à partir de laquelle 80% des atomes radioactifs ont disparu, etc. On a des lois comme ça, ce qu'on appelle les lois géométriques en fait, ou la puissance n, la façon rigoureuse de le résoudre c'est en passant avec la définition de l'exponentiel pour les puissances. N'oublions pas qu'une puissance, A puissance B, c'est parfaitement défini quand B est un entier, ça fait A fois A fois A fois A, mais si B vaut 3,2, qu'est-ce que ça veut dire en fait ? A puissance 3,2, c'est quoi ? C'est A fois A et puis 0,2 de A. Il n'y a pas d'explication, la seule définition qui convient c'est celle avec l'exponentiel logarithme. A puissance B, ça vaut E de B ln de A. Quand l'inconnu est à l'exposant d'une puissance, il faut qu'on revienne à la définition exponentielle. C'est ce que je vais faire ici, 1 cinquième à la puissance n, c'est E de N ln de 1 cinquième. En plus j'utilise les propriétés du logarithme, et ln de 1 cinquième c'est moins ln de 5. Parfait, donc 1 cinquième à la puissance n, j'utilise ce que je viens de dire, ça me fait E de moins N ln de 5, inférieur à 0,01. Là j'ai une exponentielle seule isolée, je la compose par la fonction logarithme, qui est bien strictement croissante sur R, donc je ne change pas le sens des inégalités. J'ai moins N ln de 5, qui est inférieur à N ln de 0,01. Là je multiplie par moins 1 et je divise par ln de 5, n'oublions pas que comme j'ai divisé par moins 1, on change de signe dans l'inégalité. Donc je me retrouve avec N qui est supérieur à N ln de 0,01 sur ln de 5. Alors moi ce que je vous conseille dans ces cas-là, c'est pour être sûr que vous n'êtes pas trompé dans les signes, vérifier si c'est cohérent. Là on voit qu'on a 1 cinquième, je vois que c'est une suite géométrique, je sais que quand N devient grand, ça tend vers 0. Donc ça sera inférieur à 0,01 à partir d'un certain ordre, c'est-à-dire quand N est plus grand que quelque chose. Donc c'est cohérent de trouver ici un plus grand que. Si j'avais trouvé un plus petit que, je me serais dit « Ah bah non, mince, je me suis trompé quelque part dans mes signes, j'ai pas dû changer ou j'ai changé une fois en trop. » Donc là on regarde nos calculs. Mais c'est pas mal de vérifier que ça paraît cohérent. 1,22 puissance N supérieur à 10 puissance 5. Là pareil, je repasse à la notation exponentielle. Donc E de N ln de 1,2, là ça peut valoir le coup pour le 10 puissance 5 aussi, ça fait E de 5 ln de 10. Je le compose par ln, qui est toujours une fonction stationnement correspondante, donc ça ne change pas le sens de mon inégalité. Je m'en trouve avec N supérieur à 5 ln de 10 sur ln de 1,2. Et là encore une fois, c'est cohérent en fait. Voilà, c'est tout en fait pour cette méthode-là. Donc revenir moral de l'histoire, juste simplement revenir à la définition de la puissance avec l'exponentielle et le logarithme, et après vous appliquez les méthodes précédentes. Voilà, si vous avez des questions, n'hésitez pas d'aller visiter la FAQ.

Exposant=Inconnue ?

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