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Courbe et Tangentes
Dans ce cours, nous étudions la fonction logarithme et nous cherchons à trouver l'équation de sa tangente au point d'abscisse 1.
Pour cela, nous commençons par calculer la dérivée de la fonction logarithme qui est égale à 1/x. En évaluant cette dérivée en 1, nous obtenons une valeur de 1.
En utilisant ensuite l'équation de la tangente, y = f'(1) * (x - 1) + f(1), nous simplifions et obtenons y = x - 1.
Nous sommes ensuite invités à déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente. Pour cela, nous pouvons utiliser deux méthodes : la convexité et la concavité, ou une étude de fonction classique.
Dans la première méthode, nous calculons la seconde dérivée de la fonction logarithme qui est égale à 1/x^2. Puisque cette dérivée est strictement négative, cela signifie que la fonction est concave. Une courbe concave se situe en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle passant par le point d'abscisse 1. Nous le vérifions également graphiquement.
Dans la deuxième méthode, nous posons une fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. Nous étudions les variations de cette fonction en calculant sa dérivée, qui est égale à 1/(x-1). En analysant le signe de cette dérivée, nous constatons que g(x) est positif pour x appartenant à ]0,1[ et négatif pour x supérieur à 1. En calculant g(1), nous trouvons une valeur de 0. Nous pouvons donc conclure que g(x) est inférieur à 0 pour tout x, ce qui signifie que la différence entre la fonction logarithme et sa tangente en 1 est négative ou nulle.
En résumé, nous avons trouvé que l'équation de la tangente de la fonction logarithme au point d'abscisse 1 est y = x - 1. La courbe de la fonction logarithme est concave et se situe en dessous de sa tangente en 1, comme le confirment les deux méthodes utilisées.
Note : L'utilisation de mots-clés pertinents pour le référencement dans le résumé peut inclure : logarithme, tangente, équation, abscisse, dérivée, concavité, convexité, courbe.
