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Lien avec les Primitives

Dans cette vidéo, nous couvrons les propriétés assez simples et intuitives de l'intégrale. La première propriété concerne la linearité, qui dit que l'aire sous la courbe d'une fonction est égale à lambda fois l'aire sous la courbe de cette fonction. En d'autres termes, si vous prenez une courbe, l'aire sous la courbe sera doublée si vous prenez une courbe deux fois plus haute.

La deuxième propriété concerne la somme de deux fonctions. Si vous prenez l'aire de la fonction f plus g, cela sera égal à l'aire de f plus l'aire de g. Cette propriété est également intuitive et simple à comprendre.

En ce qui concerne les bornes, si f est une fonction continue sur un intervalle i avec des réels a et b, alors l'intégrale de f entre a et a sera égale à 0. Cela est dû au fait que vous prenez l'aire sous la courbe de la fonction entre un point a et lui-même, qui est essentiellement nulle.

En ce qui concerne la relation de Schall, si vous ajoutez l'intégrale de f entre a et c à l'intégrale de f entre c et b, cela sera égal à l'intégrale de f entre a et b directement. Cette relation permet de découper l'aire totale sous la courbe en deux parties, ce qui est très intuitif.

En résumé, les propriétés de l'intégrale couvertes dans cette vidéo sont simples et intuitives. Elles incluent la linearité, la somme de deux fonctions, les bornes nulles et la relation de Schall.

Dans cette vidéo j'ai envie de couvrir avec vous une première partie sur les propriétés assez simples et intuitives en soi. Alors première propriété la linearité là je vous l'écris dans sa définition puisqu'il faut la connaître mais il n'y a rien de foufou à raconter. Si vous prenez l'air sous la courbe lambda f c'est égal à lambda fois l'air sous la courbe f. C'est à dire que si vous prenez une courbe, si vous prenez l'air sous la courbe par exemple je sais pas moi x et qu'ensuite vous prenez l'air sous la courbe 2x vu que ça monte deux fois plus vite il se trouve que vous aurez deux fois plus d'air c'est ça que ça dit si vous voulez. Donc la deuxième propriété c'est que si vous cumulez, si vous faites l'air d'une fonction f plus g, si vous cumulez les deux fonctions vous prenez l'air de la fonction totale f plus g qui sera donc deux fois plus haute, imaginons que les deux sont positives et ben dans ce cas vous aurez l'air de f plus g donc l'air total ce qui sera égal à d'un côté l'air de f plus l'air de g. Ça c'est la linéarité, c'est assez intuitif, pas grand chose à raconter dessus. Sur les bornes, donc très important, ça je l'ai déjà utilisé dans pas mal de vidéos précédentes, si f est une fonction continue c'est un intervalle i avec a, b, c des réels, l'intégrale entre a et a de f égale 0. Ça c'est parce que vous êtes en train de prendre l'air sous la courbe de la fonction f entre un point a et lui-même, donc vous prenez l'air en fait d'un espèce de fil qui n'a pas de deuxième dimension, c'est pour ça que c'est nul. Petit b, ça c'est plus une convention, si on prend l'intégrale entre b et a, par exemple disons l'intégrale entre je sais pas 3 et 2, on va définir que ça sera égal à moins l'intégrale entre 2 et 3. Donc si vous parcourez la fonction, d'habitude vous avez une intégrale sur le long de l'axe x, entre 2 et 3 par exemple, si vous décidez de parcourir entre 3 et 2, vous allez dire que c'est la même chose que 2 et 3 mais en opposé, vous mettez un signe moins. Enfin la relation de Schall, alors celle-là elle est assez intuitive encore une fois, si vous avez l'intégrale entre a et c à laquelle vous ajoutez l'intégrale entre c et b, on peut dire que c est égal à l'intégrale entre a et b directement. Donc j'ai illustré un peu ici, je vais vous montrer sur le graphe en plus gros, ça dit juste que l'intégrale totale de toute ma fonction ici c est égale à l'intégrale mauve, enfin violette, plus l'intégrale verte, quelle que soit le point c. Je peux vous montrer vite fait sur un graphique plus gros mais c'est ça que je voulais dire en gros. Voilà, donc là je vous ai fait un petit graphique et l'idée de la relation de Schall c'est assez simple, c'est de dire si vous avez l'aire entre par exemple ici, je suis entre quoi et quoi, je sais pas trop, entre 4 et 8,4 à peu près, si j'ai cette aire-là totale je peux la calculer en deux morceaux, je peux dire que c'est égal d'un côté à l'air entre 4 et 7, puis ensuite à l'air entre 7 et 8,4. Donc c'est juste pour dire qu'on peut découper en deux, enfin c'est vraiment très intuitif, j'ai pas grand chose à ajouter. Ces propriétés sont les propriétés intuitives donc de l'intégrale, j'espère qu'elles sont claires pour vous et je vous dis à la prochaine pour une vidéo encore de propriétés. A tout de suite !

Propriétés 1 : intuitives !

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