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Dans cette courte vidéo sur les propriétés de l'intégrale, il est expliqué que si pour toutes les valeurs de x entre a et b, la fonction f(x) est toujours plus grande que la fonction g(x), alors l'intégrale de f sera plus grande que l'intégrale de g. Cette propriété peut être illustrée graphiquement en montrant que l'aire sous la courbe de f est plus grande que l'aire sous la courbe de g.

De plus, si f(x) est toujours plus petite qu'une fonction constante M, alors l'intégrale de f entre a et b sera plus petite que M multiplié par la longueur de l'intervalle. Si f(x) est toujours plus grande qu'une petite constante M, alors l'intégrale de f sera plus grande que M multiplié par la longueur de l'intervalle.

En résumé, ces propriétés indiquent que si une fonction est majorée, sa valeur intégrale sera aussi majorée par le produit de la constante et de la longueur de l'intervalle. De même, si une fonction est minorée, sa valeur intégrale sera plus grande que le produit de la constante et de la longueur de l'intervalle.

Il est important de connaître ces propriétés pour résoudre certains exercices. Pour plus d'informations, n'hésitez pas à consulter la FAQ ou à attendre la prochaine vidéo.

Encore une courte vidéo sur les propriétés de l'intégrale, cette fois-ci liées aux inégalités. Alors on va faire ça vite. J'ai a et b de réel. Si pour toute x de a, b, j'ai toujours f de x qui est plus grande que g de x, alors nécessairement, leurs intégrales vont être rangées dans le même ordre. L'intégrale de f va être plus grande que l'intégrale de g. On peut le voir sur un dessin, donc si ça c'est f, ça c'est g, l'aire sous f est beaucoup plus grande que l'aire sous g ici. En particulier, donc ça c'est intéressant, si je considère que g est la fonction nulle, petit cas particulier donc, donc f est toujours plus grande que 0, alors l'intégrale de f est aussi toujours positive. Très intuitif, mais c'est bien de savoir que c'est une propriété. Cas particulier très utile en exercice, donc cette fois-ci si j'ai deux fonctions rangées comme ceci, donc f de x plus petite qu'une fonction constante égale à m, on pourra dire que M est un majorand de f, f est donc majoré, alors l'intégrale de f entre a et b va être plus petite que l'intégrale de M entre a et b. Or, l'intégrale de M constante entre a et b, ces fonctions constantes, c'est juste l'aire d'un rectangle, c'est M fois la longueur entre a et b, c'est-à-dire selon le signe, b moins a en valeur absolue pour éviter les problèmes de signes. Donc on peut dire que si f est majoré, la valeur de son intégrale est aussi majorée, elle est majorée par M fois la longueur de l'intervalle. De la même manière, si f est minoré, c'est-à-dire que si quelque soit x, f de x est plus grande qu'un petit M, c'est un minorand, alors on a l'intégrale qui sera plus grande que l'aire du rectangle qui est en dessous, c'est-à-dire M fois b moins a en valeur absolue. C'est très simple, mais il faut les connaître ces propriétés dont je vous les donne. Voilà, c'est tout pour les propriétés, posez des questions dans la FAQ si vous avez des doutes, sinon je vous retrouve encore une fois dans la prochaine vidéo.

Propriétés 3 : inégalités

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