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Théorème fondamental : Démo
Dans cette vidéo, nous allons démontrer le théorème fondamental de l'analyse, qui a été abordé de manière intuitive dans une précédente vidéo. Le théorème énonce que si f est une fonction continue et positive sur l'intervalle [a, b], alors la fonction F définie comme l'intégrale de f entre a et x est dérivable et sa dérivée est égale à f.
Nous allons commencer la démonstration en fixant un point x appartenant à [a, b], et nous voulons montrer que la fonction est dérivable en ce point. Pour cela, nous devons étudier la limite du taux d'accroissement de la fonction.
En utilisant la définition de la dérivée, nous cherchons à calculer la limite lorsque h tend vers 0 de [f(x + h) - f(x)] / h. Pour cela, nous allons manipuler l'expression de F(x + h) - F(x).
Nous appliquons la définition de F à F(x + h) et à F(x), puis nous utilisons certaines propriétés des intégrales pour réarranger les termes. En utilisant la propriété de Schall, nous pouvons dire que l'intégrale entre x et a suivie de l'intégrale entre a et x + h est équivalente à l'intégrale entre x et x + h.
Nous nous concentrons ensuite sur l'erreur entre x et x + h de la fonction f. Nous utilisons l'approximation de cette erreur par des rectangles, en encadrant l'aire sous la courbe de f entre x et x + h par l'aire d'un rectangle vert et l'aire d'un rectangle bicolore.
En utilisant les propriétés des rectangles, nous obtenons que l'erreur entre x et x + h est inférieure à f(x + h) × h. Divisant les deux côtés par h, nous obtenons l'inégalité f(x) ≤ [F(x + h) - F(x)] / h ≤ f(x + h).
Comme f est continue, nous pouvons dire que la limite de f(x + h) quand h tend vers 0 est égale à f(x). Ainsi, la limite du taux d'accroissement est f(x), ce qui montre que la fonction est dérivable en x avec une dérivée égale à f(x).
En conclusion, nous avons démontré que la fonction F définie par l'intégrale de f entre a et x est dérivable avec une dérivée égale à f. Ce théorème nous permet également de conclure que toute fonction continue sur un intervalle a des primitives sur cet intervalle.
J'espère que cette démonstration a été claire et que vous avez pu suivre les différentes étapes. N'hésitez pas à poser des questions si vous avez des doutes. À bientôt pour une prochaine vidéo !
