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Fonction définie par une Intégrale
Ce cours traite des variations d'une fonction définie par une intégrale. Habituellement, pour déterminer les variations d'une fonction, nous calculons sa dérivée pour en déduire le signe et la monotonie. Cependant, la dérivée d'une intégrale est facile à calculer. Par exemple, si nous avons l'intégrale de a à x de u(t), sa dérivée est simplement u(x). Nous pouvons donc étudier le signe de la dérivée pour déterminer les variations, et construire un tableau de variations.
Dans cet exemple, nous devons étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle 0 à π, avec f(x) égale à l'intégrale de 0 à x de sin^3(t). Il est important de faire attention, car la dérivée ne dépend pas seulement de la fonction au milieu (ici sin^3(t)), mais aussi des bornes de l'intégrale. Pour illustrer cela, prenons l'exemple de l'intégrale de -x à 0 de h(t)dt, où h est une fonction quelconque. En utilisant le théorème fondamental de l'analyse, nous pouvons réécrire cette intégrale comme l'intégrale de x à 0 de h(t)dt. Ainsi, la dérivée de cette fonction sera -h'(x). Donc, il est crucial de faire attention aux bornes lors du calcul de la dérivée d'une intégrale.
Ensuite, nous calculons la dérivée de la fonction f(x), en utilisant le théorème fondamental de l'analyse. En posant G(x) comme une primitive de g(x) = sin^3(x), nous obtenons f(x) = G(x) - G(0). Lorsque nous dérivons f(x), nous obtenons g(x) (sin^3(x)), ce qui confirme notre fonction initiale. Il est également important de noter que dans cette notation, la variable t utilisée à l'intérieur de l'intégrale est une variable locale, qui n'a de sens qu'à l'intérieur de l'intégrale. La variable x, quant à elle, est une variable globale et a un sens à l'extérieur de l'intégrale.
Enfin, pour étudier les variations de f(x), nous analysons le signe de sa dérivée, qui est sin^3(x). Étant donné que c'est au cube, nous savons que son signe est le même que celui de sin(x) sur l'intervalle 0 à π. Nous constatons que sin(x) est positif sur cet intervalle, puis devient négatif. Par conséquent, f(x) est croissante, puis décroissante. Il est possible de calculer les valeurs spécifiques en 0, π et 2π, mais pour cette question, nous avons simplement étudié les variations.
En résumé, le calcul des variations d'une fonction définie par une intégrale est relativement simple grâce au calcul de sa dérivée. Il est essentiel de faire attention aux bornes de l'intégrale et de comprendre les variables locales et globales utilisées dans le processus.
