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Linéarité d'une Intégrale
Dans ce cours, nous étudions une méthode pour calculer les primitives en utilisant la linéarité de l'intégrale. Le professeur nous présente un exercice où il faut montrer que la fonction F proposée est une primitive de la fonction f(x) = x^x.
La première question est une question cadeau, car il suffit de dériver la fonction F pour vérifier si elle est une primitive de f. Comme f(x) est un polynôme multiplié par une exponentielle, la dérivabilité sur R ne pose aucun problème. En dérivant la fonction F, on obtient effectivement f(x), ce qui confirme que F est une primitive de f.
Ensuite, nous devons déterminer l'intégrale de 0 à 1 de la fonction 3t - 2e^(x^x). Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé, car le professeur utilise par erreur la variable t au lieu de x. La vraie intégrale que nous voulons calculer est donc l'intégrale de 3x - 2e^(x^x).
Pour résoudre cet exercice, le professeur rappelle une règle générale : lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, il est souvent utile d'utiliser une intégration par parties (IPP). En utilisant cette méthode, nous posons U(x) = 3x - 2 et V'(x) = e^(x^x). La dérivée de U(x) est simplement 3, et la primitive de V'(x) est également e^(x^x). Nous avons donc les conditions nécessaires pour appliquer l'IPP.
En effectuant les calculs, nous obtenons finalement l'intégrale de 0 à 1 de 3e^(x^x) - 2x. Cette intégrale est plus simple à calculer, car l'exponentielle est facile à primitiver. En résolvant cette intégrale, nous trouvons 2e^5.
En résumé, cette méthode consiste à utiliser la linéarité de l'intégrale pour séparer les termes et simplifier le calcul des primitives. Lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, l'intégration par parties est souvent une bonne stratégie.
