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Analyse Terminale

Lien avec les Primitives

Le cours porte sur les encadrements d'intégrales pour trouver des limites. On nous propose une fonction f(x) = e^(-x^2) à étudier et on nous demande de l'encadrer pour tout x supérieur à 1. Premièrement, on remarque que la fonction exponentielle est toujours positive, donc f(x) est également positive pour tout x supérieur à 1. Ensuite, pour montrer que f(x) est inférieure à e^(-x), on utilise des manipulations algébriques en observant que x est supérieur à x² et en multipliant par -1 pour inverser le signe. En composant cette inégalité avec l'exponentielle, on obtient l'inégalité souhaitée.

En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, on en déduit un encadrement de l'intégrale de f(x) de 1 à 2. On sait que pour tout x appartenant à [1,2], 0 est inférieur à f(x) qui est lui-même inférieur à e^(-x). Ainsi, on calcule l'intégrale de 0 de 1 à 2, qui est égale à 0, et l'intégrale de e^(-x) de 1 à 2, qui se résout facilement. On obtient finalement que l'intégrale de f(x) de 1 à 2 est comprise entre 0 et e^(-1) - e^(-2). Cette méthode nous permet donc d'encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de celle-ci.

On va maintenant faire des encadrements d'intégrales qui peuvent nous être utiles pour trouver des limites, etc. Voilà pour cette méthode. On nous propose une fonction à étudier qui est f de x égale E de moins x carré et déjà, première question, on nous demande d'encadrer ça. Pour tout x supérieur à 1, on veut trouver cet encadrement. Déjà supérieur à 0, c'est évident, une exponentielle est toujours positive. Donc forcément E de moins x carré est positive, quel que soit x, pour tout x supérieur à 1, d'ailleurs pour tout x réel aussi, peu importe, mais en l'occurrence c'est toujours vrai pour x supérieur à 1. Et ensuite, pour montrer que c'est plus petit qu'E de moins x, je vais raisonner, je vais encadrer petit à petit. J'ai x qui est supérieur à 1, par hypothèse, donc je multiplie par x qui est positif. Toujours se poser la question quand j'utilise une inégalité, c'est bien positif donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. J'ai x qui est supérieur à x carré, je multiplie par moins 1, là ça change de signe, alors je permute, c'est moins x carré positive moins x, et je le compose par l'exponentielle qui est une fonction strictement croissante, donc ça ne change pas le signe de mes inégalités. Donc voilà, j'ai bien l'inégalité voulue, les deux réunies ça donne bien le résultat demandé. Et du coup je dois en déduire un encadrement de l'intégrale de 1 à 2 de f de x dx. Donc par monotonie de l'intégrale, c'est la propriété à utiliser, pour tout x appartenant à 1, 2, j'ai 0 qui est inférieur à f qui est inférieur à e de moins x, donc du coup je fais l'intégrale de chacune de ces deux fonctions, donc l'intégrale de 1 à 2 de 0, évidemment ça fait 0, l'intégrale ici de 1 à 2 de f de x, c'est ce que je cherche à encadrer, et l'intégrale de 1 à 2 e de moins x, là c'est une fonction que je sais facilement primitiver, ça fait moins e de moins x, je fais le calcul, ça fait e de moins 1 moins e de moins 2. Donc finalement j'ai encadré mon intégrale, je sais que cette intégrale là est comprise entre 0 et e de moins 1 moins e de moins 2. Donc voilà comment on peut encadrer une intégrale en utilisant la monotonie de l'intégrale.

Encadrer une Intégrale

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