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Équations Différentielles

Les équations différentielles homogènes sont des équations de la forme y' = ay, avec a un réel non nul. Les solutions de ces équations sont toujours de la forme k * e^(ax). Il y a une infinité de solutions pour cette équation, comme il y a une infinité de primitives pour toutes les fonctions. Cependant, en fixant une condition initiale, on peut trouver une unique solution pour l'équation. La démonstration de ce principe est un cas d'école, où on peut comprendre pourquoi cela fonctionne. On peut utiliser une approche "physicienne" pour trouver une piste de solution, en faisant des opérations interdites en mathématiques, puis revenir à une démonstration rigoureuse. En utilisant cette approche, on peut montrer que les solutions des équations homogènes sont de la forme k * e^(ax), ce qui est un résultat connu. On peut ensuite vérifier que cette solution est bien correcte en dérivant et en substituant. La démonstration complète peut être trouvée dans la vidéo.

Premier type d'équation qu'il faut absolument connaître par coeur, les équations différentielles appelées homogènes. Ce sont les équations de la forme y'à y avec un réel non nul. S'il est nul, ça ne fait juste pas très intéressant. Les solutions de cette équation s'écrivent toujours de la forme k fois exponentielle à x. K ça peut être 2, 3, donc par exemple 2 exponentielle à x est solution, 5 exponentielle à x est solution. Il y a donc une infinité de solutions pour l'équation y'à y. De la même manière qu'il y avait une infinité de primitives pour toutes les fonctions f. Par contre, dès qu'on commence à fixer de la même manière que les primitives 1.x0 de l'intervalle de définition et une valeur y0 quelconque, là, on n'a plus qu'une seule fonction f solution qui vérifie f de x0 égal y0. Rappelez-vous, ce qu'on a fait sur les primitives, c'est exactement la même chose. Ce qui est intéressant, c'est que oui c'est une exponentielle, parce que ça ressemble un peu à la définition de l'exponentielle y'à y, c'est l'exponentielle. En gros, y'à y, on s'attendait à un truc peut-être similaire. C'est assez intéressant. Ce qui m'intéresse beaucoup plus ici, j'ai juste tracé quelques solutions, quelques cas exponentiels à x, avec des cas positifs en haut, des cas négatifs en bas. Ce qui m'intéresse plus, c'est la démonstration. C'est un cas d'école de démonstration, où des fois les profs de maths vont vous balancer un truc, on ne sait pas trop d'où ça sort, et ça fonctionne comme par hasard. J'ai envie de casser tout ça, de vous montrer derrière le rideau pourquoi est-ce qu'on a une démonstration qui marche comme elle marche, et d'où vient cette intuition. Ce qu'on va faire ici, principalement, c'est la démonstration. Commençons en faisant un peu semblant de ne pas se douter de rien. On va faire un peu, vu qu'on veut montrer une égalité d'ensemble, donc l'ensemble des fonctions solutions, c'est l'ensemble des fonctions exponentielles à x. Ce qu'on a fait, c'est très différent. On peut vérifier rapidement que les exponentielles à x sont solutions, mais pour autant le théorème dit plus que ça. Ce qu'il nous dit, c'est que toutes les solutions s'écrivent comme ça. Il n'y en a pas d'autres. C'est mort. Ce sont les seules. On va partir en conditions nécessaires et suffisantes, ou double inclusion, comme on a vu dans le chapitre sur les primitives. Donc, soit f est une solution. On sait que si c'est une solution de y'égal à y, elle vérifie f'égal à f. Maintenant, soit j'ai la fonction définie sur R par g de x égale exponentielle moins à x fois f. Mais non ! Et là, je dis stop direct. Ça, c'est l'étape normale de la démonstration, et après ça, il y a trois lignes qui font que la démonstration est finie. Mais rappelez-vous, on est en train d'essayer de chercher les solutions. On veut montrer que c'est exponentielle à x. On ne veut pas balancer comme ça le résultat dès le début. Ce n'est pas possible de faire ça. En fait, c'est possible, mais c'est choquant. Scandale remboursé. Je vais vous montrer un peu l'intuition en faisant un truc qui va peut-être vous faire plaisir, mais qui est très très interdit en mathématiques. Donc en fait, on va aller chercher l'intuition de la réponse en faisant ce que j'appelle un peu, alors ce n'est pas insultant pour eux, mais le mode physicien. Le mode physicien, c'est ce mode dont vous rêvez en maths. C'est le mode où on s'en fout un peu de tous les détails. On s'en fout de vérifier tous ces petits trucs chiants, des maths, les détails. Est-ce qu'on divise par zéro ? Est-ce qu'il y a des trucs, des signes ? Juste faire des maths et avancer, je n'ai pas envie de m'embêter. Je vais faire ça, ce qui est interdit, interdit. Il faut de la rigueur et on doit vérifier tous ces petits trucs dont je parle, mais je vais le faire un petit peu juste pour trouver une piste. C'est ce qu'on fait souvent en prépa notamment. On a envie de trouver des pistes dans cette exo qui sont un peu imbitables. Des fois, on ne sait pas où aller. Et donc, on se dit, allez hop, on s'en fiche de la rigueur. Pendant deux minutes, je cherche une solution. Quand je trouve un chemin, je reviens sur la rigueur. Et maintenant, ce chemin, je l'emprunte de manière plus raisonnée et plus étape par étape. Donc, qu'est-ce qu'on fait ? Petit détour par le mode physicien. On y va brun sur le brouillon. On dit Y prime égal à Y, c'est très bien, mais ça ne m'aide pas. Si je fais Y prime sur Y, là, ça va m'aider. Parce que Y prime sur Y, je reconnais tout de suite ma primitive de log de Y. En effet, j'ai ma fonction U prime sur U dans mon tableau. U prime sur U, c'est lié à log de U. Premier problème. Y prime sur Y, je divise potentiellement par une valeur de Y de X. Y de X, je dis ça parce que Y, c'est une fonction, n'oubliez pas. Y de X, potentiellement, ça vaut zéro. Je n'ai pas montré que ça ne valait pas zéro, donc je n'ai pas le droit de diviser. On s'en fout, mode physicien. Donc, je primitive maintenant cette équation de chaque côté. Je sais qu'à gauche, ça va faire Y prime sur Y. On va faire, hop, log de Y. À droite, A, c'est une constante. Ça fait une fonction affine à X plus K. Simple. Primitif de A à X plus K. Primitif de Y prime sur Y, log de Y. Mais dans le tableau U prime sur U, ça va être primitif. C'est log de U, valeur absolue. On s'en fiche, mode physicien. Ils n'ont pas de valeur absolue. On est très contents. Par contre, moi, je ne veux pas log de Y, je veux Y. Donc, je passe à l'exponential de chaque côté de l'équation qui est ici. Et ça me donne, donc, exponentielle de log de Y. Y est égal à exponentielle de A à X plus K. Je peux séparer le K. C'est une exponentielle, donc c'est une fonction de puissance en soi. Ça donne une autre constante, K prime, fois exponentielle à X. Parfait. Parfait. J'y suis, talin, c'est fini. Bon. Bien sûr, c'est ce que j'ai dit. On a des contraintes en maths. On ne peut pas diviser par zéro. On ne peut pas faire ce qu'on veut, etc., etc. Très bien. Voyons ensuite comment s'inspirer de ça. On a vu, dans ce chemin un peu flou de mode physique, que, oui, on trouve un truc du genre exponentielle à X. C'est pour ça qu'on pose une g2x égale exponentielle moins AX fois f2x, sachant que f2x sera sûrement exponentielle à X. La multiplication de f par exponentielle moins AX devrait être constante. Donc, on sait dans notre tête, dans le fond, après le mode physicien, on sait qu'on a f2x peut remplacer par K fois E de AX. Et donc, ça veut dire que g2x serait constante. Poser une g2x comme ça est astucieux, parce qu'en fait, il ne me restera plus qu'à démontrer... Là, je fais genre, je ne sais pas, que le f c'est ça, mais j'aurais plus qu'à démontrer que g est constante. Mais pour montrer que g est constante, ce n'est pas très compliqué. Elle est dérivable. Je montre que sa dérivée est nulle. Et montrer qu'une dérivée est nulle, c'est plutôt simple. Donc, on s'inspire de ce chemin qu'on a trouvé en faisant un espèce de passage par le log pour ensuite poser cette fonction. Mais si je ne vous donne pas le chemin, et je vous balance juste ce truc-là, poum, on pose g égale. Moi, ça me rappelle des souvenirs où j'étais choqué de mes... Oui, d'accord, monsieur ou mesdames, enfin, vous êtes gentils, mais... D'où ça sort, cette démonstration-là. Vous me le sortez un peu de nulle part. Bon, ok, ça marche, j'accepte. Mais bon, c'est un peu trop simple. Donc, on a donc fait le chemin au brouillon. On va essayer de repasser à la démonstration. Maintenant que je pose ça, j'ai plus qu'à montrer que la dérivée est nulle. Et ça, ça va être très simple et assez direct. g', j'la dérive. Je peux factoriser par exponentielle moins x. La dérivée de g', c'est donc un produit. Donc, c'est u'v plus v'u, vous appliquez. On trouve, prenez votre stylo, si vous n'êtes pas sûr, faites-le. On trouve g' égale ça. Or, rappelons-nous, le seul truc qu'on sait sur f, c'est qu'elle vérifie y' égale ay. Donc, en fait, f' égale af. Donc, f' moins af égale 0. Oh ! Mais quelle surprise ! Donc, on a bien g' égale 0. Et donc, g' égale constante. Donc, nous, on le sait, vu qu'on a fait le petit chemin par le mode physicien. Et on n'est pas surpris. Et on comprend pourquoi la démonstration passe par là. C'est une technique pas bête. De se dire, on va plutôt dériver et montrer que c'est nul. C'est pas très compliqué. Mais c'est vrai que ça va assez vite. Mais si on vous le balance, bon, en effet, ça va trop vite. Donc, on trouve ça. Et on trouve f' égale c fois quelque chose. Le cas est devenu un c. C'est une erreur de slide. Je corrigerai ça. Mais vous avez compris l'idée. On retrouve c fois exponential à x. Et donc, ensuite, il reste la condition suffisante, rappelez-vous. Là, pour l'instant, on a montré que, c'est très intéressant, on a montré que les seules solutions possibles de cette équation s'écrivent de la forme constante fois exponential à x. Ça résout le problème de, est-ce qu'il n'y en a pas d'autres ? Ben, oui, il n'y en a pas d'autres. On a appris une quelconque et on voit qu'elle ressemble à ça nécessairement. C'est pour ça qu'on parle de condition nécessaire. Condition suffisante. Maintenant, on vérifie que celle qu'on a trouvée est bien la solution. On le sait d'avance, on l'a fait tout à l'heure. On vérifie, on dérive, on voit que ça marche. C'est tout pour cette vidéo. J'espère que ça vous a aidé, que ça vous a inspiré, que ça vous a fait marrer de voir un peu derrière le rideau comment on conçoit les démonstrations. C'est un peu comme ça qu'on conçoit des exercices aussi des fois, quand on est côté prof. Posez des questions dans la FAQ si y'en a besoin et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

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