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Hérédité : comment démarrer ?
La démonstration par récurrence est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels (n). Dans cette vidéo, l'accent est mis sur la démonstration de l'hérédité, qui est la partie la plus complexe de la méthode.
Il existe deux cas possibles pour démontrer l'hérédité. Dans les deux cas, l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut montrer doivent être reliés.
Le premier cas consiste à partir de l'hypothèse de récurrence (Pn) et à aboutir à Pn + 1. Le deuxième cas consiste à partir de Pn + 1 et à utiliser P2n pour conclure. Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées en fonction de l'exercice.
Pour illustrer ces deux cas, un exemple simple est utilisé. Une suite (U) est définie par récurrence avec U0 = 5 et Un+1 = 3Un + 6. L'objectif est de montrer que U1 est strictement positif pour tout n.
La démonstration commence par poser P2n, qui est U strictement supérieur à 0. L'initialisation ne pose aucun problème car U0 vaut 5.
Ensuite, l'hérédité est démontrée en utilisant les deux cas possibles. Dans le premier cas, on part de l'hypothèse de récurrence (Pn) en supposant que U est supérieur à 0. En multipliant par 3 et en ajoutant 6, on obtient que 3Un + 6 est supérieur à 6, qui est lui-même supérieur à 0. Ainsi, Un+1 est supérieur à 0.
Dans le deuxième cas, on part de Pn+1, c'est-à-dire de Un+1, et on utilise l'hypothèse de récurrence (Pn). Comme Un est supérieur à 0, on peut conclure que Un+1 est également supérieur à 0.
Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées selon les besoins. Il n'y a pas de meilleure méthode, tout dépend de l'exercice. Si vous rencontrez des difficultés avec l'une des méthodes, vous pouvez essayer l'autre.
En conclusion, la démonstration par récurrence est une méthode utilisée pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels. L'hérédité, qui est la partie la plus complexe, peut être démontrée en utilisant deux cas possibles. Les deux méthodes sont viables et peuvent être utilisées en fonction des besoins de l'exercice.
