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Maths SM&SP

Analyse

Récurrence

Ce cours traite d'une démonstration mathématique. L'objectif est de montrer que pour tout entier n, la somme des carrés des nombres impairs jusqu'à n est égale à la formule 2n + 3. Le cours commence par expliquer l'importance d'écrire clairement ce que l'on veut démontrer. Ensuite, l'auteur utilise des notations mathématiques pour étayer sa démonstration par récurrence. Il commence par l'initialisation, en montrant que l'égalité est vérifiée pour n = 1. Ensuite, il passe à l'hérédité, en supposant que l'égalité est vraie pour n, puis en démontrant qu'elle est également vraie pour n+1. Pour cela, il factorise certaines expressions et effectue des calculs, en utilisant la formule de la somme des impairs. En fin de compte, il conclut en montrant que l'égalité est vérifiée pour tout entier n.

C'est une référence ici qu'on pourrait appeler plus classique. Je l'ai mis parce que c'est un bon exemple de ce que je disais tout à l'heure, de ce que je l'ai expliqué dans la vidéo ou l'exercice précédent, où c'est important d'écrire ce qu'on veut. Si on écrit ce qu'on veut, ça va vachement nous aider. On va montrer que je suis un jeune, donc on va faire soit P de N, on va prendre N appartient à N, et on va appeler grand P de N le fait que la somme de k égale 0 à N de 2k plus 1 au carré... Bon, surtout que c'est intéressant, 2k plus 1 au carré, ça veut dire quoi ? C'est dire que c'est 1 au carré plus 3 au carré plus 5 au carré. En français, c'est la somme des impaires, entre la seule somme des N premiers impaires, si vous voulez, égale le truc au-dessus. Je recopie, vous allez me dire que ça ne sert à rien, c'était déjà écrit. Hop, 2N plus 3, le tout. Alors là, j'adore parce que cette... Quand vous voyez en live, cette appli sur iPad est incroyable et qu'elle fait les traits et tout, bref, je suis très fan. Donc voilà, vous avez ce truc-là. Je vais l'appeler d'ailleurs, je vais donner un petit nom à ce truc-là, je vais l'appeler SN cette somme. Comme ça... Je vais l'appeler SN comme ça, si je veux y référer, je ne galérerai pas trop. SN, c'est ça. Bon ben, montrons-la par récurrence. Alors là, pour la rédaction, c'est ce que j'ai dit dans... Si vous avez regardé mes vidéos, l'appli est encore gratuite parce qu'on va la mettre en payant au moment où, pour l'instant, c'est gratuit. Si vous avez déjà vu les vidéos, je raconte, il faut vous soumettre aux injonctions de votre prof. C'est-à-dire quand votre prof dit, vous rédigez comme ça, vous faites comme il dit, moi je vous fais une rédaction. Si lui, il vous dit de mettre tel mot, tel mot, tel truc, il faut le faire. Moi, ma prof, elle m'avait vraiment encadré, la prof de maths, elle m'avait dit, vous faites comme ça, c'est tout. Ça vous cadre, c'est bien, donc suivez ce qu'il vous fait. Adaptez ce que vous fait votre prof. Moi, je vais dire par récurrence, on va le monter par récurrence, donc on va commencer par initialisation. J'appelle ça init, c'est très mal écrit. init, pour n égale 0, pas du tout. On a donc n étoiles ici, donc on ne fait pas du tout n égale 0. Pour n égale 1, on a somme de k égale 0 à 1, donc s1 égale de 2k plus 1, le tout au carré, égale. On va compter, le premier terme quand k égale 0, 1 au carré, plus quand k vaut 1, ça fait 2 fois 1 plus 1, 3 au carré. Magnifique. Ce qui fait 1 plus 9 égale 10. On va bien faire l'initialisation. Je calcule les s1 d'un côté. De l'autre côté, je calcule, pour n égale 1, ce que fait ce terme-là. Espèce de produit divisé par 3. Je calcule ce que ça fait quand je mets n égale 1. Et peut-être que par hasard, on va se rendre compte que ça fait 10. Bon, ça va faire 10, mais... C'est comme ça qu'il faut rédiger pour être sûr de bien montrer que on prend 1, on prend un côté, donc ce côté, on prend l'autre côté, on voit que les deux sont égaux, donc j'ai bien montré qu'ils sont égaux. Il faut bien le montrer, je vais bien le faire en deux trucs séparés comme ça, le prof comprend que vous avez compris. Vous transmettez au prof que vous avez compris, que vous êtes bien en train de calculer de manière différente et de montrer que c'est égal. Que des fois, les élèves s'embrouillent, commencent à partir ici, et commencent à dire « et donc, ça fait ça ». Il y en a l'impression que vous le démontrez à partir de lui-même. Donc faites-le en deux lignes, c'est le plus clair, je pense. 3, 2 x 1, plus 3. Le tout divisé par 3. Et ça, ça fait 2 x... Non, ça, ça fait 3 x... Ça, ça fait, je sais pas, 5. Sur 3, magnifique. 2 x 3, 6. X 5, 30. Sur 3, égale 10. Les deux sont égaux. Ok, on est bon. Hérédité. Donc il faut être précis, hein. Vous allez dire peut-être que j'insiste sur des trucs, des chichis, mais en fait, n'importe quel chichi, vous faites plein de dépoints, donc faites attention. Hérédité. Alors on passe en brouillon. On a Sn égale. Donc c'est 1 au carré, plus 3 petits points, plus 2n plus 1 au carré, égale. Je vais encore recopier ce truc-là. n plus 1, 2n plus 1. 2n plus 3. Le tout sur 3. Allez, yes. Le tout sur 3. On veut, au brouillon encore une fois, Sn plus 1 égale 1 au carré, plus 3 petits points, plus 2n plus 1 au carré, plus 2 x n plus 1 plus 1 au carré. Non, faut pas se tromper. Vu qu'on le veut en n plus 1, ça veut dire qu'on prend le dernier terme, là on avait n, là on a n plus 1. Donc ça, je veux bien que ça fasse 2n plus 3, mais au début, c'est ça l'idée. Donc égale. On veut que ça soit égal à ce truc-là, où je prends tous les n et je mets n plus 1 à la place. C'est parti. Ça fait n plus 1 plus 1, donc n plus 2 pour la première parenthèse. 2 x n plus 1, je vais l'écrire quand même bien. Plus 1. 2 x n plus 1, plus 3. Je vais lentement pour être sûr. Le tout divisé par, allez, 3. C'est égal à n plus 2, 2n plus 2, plus 1, plus 3, 2n plus 5. Voilà. J'ai ça en tête. En tout cas, je sais que je l'ai écrit quelque part. Donc si je me perds dans les calculs, zut, je ne suis pas capable de faire un trait droit. Si je me perds dans les calculs, je sais, enfin, j'essaierai de me retrouver, ça sera un peu ma boussole, ce truc-là. C'est un peu ma boussole et je vais essayer de me retrouver, de retrouver ce truc-là. Donc partons. On va écrire s n plus 1 égale 1 au carré plus 3 petits points. Là, je commence ma vraie démonstration. Plus, qui n'est donc plus mon brouillon, plus 1 au carré. Mais là, tout de suite, qu'est-ce que je fais ? Je repère ce truc-là. Ça, c'est s n. Et avec l'hypothèse de récurrence, h r, je sais que ça vaut le truc au-dessus. n plus 1, 2n plus 1, je n'arrive pas à l'écrire, 2n plus 3, hop, hop, hop. Bon, j'écris vite fait, vous avez compris. Sur 3. Ça, c'est cool. Tout de suite, j'applique l'hypothèse de récurrence et je n'ai plus ensuite qu'à ajouter le terme qui est là et à espérer que quand je me dépatouille à tout factoriser ensemble, je puisse trouver ça. Et c'est là que ça va intervenir le fait d'avoir écrit la réponse. Le truc qu'on veut. Égale n plus 1, 2n plus 1, 2n plus 3. Vous savez quoi ? 1 fois 1 tiers, j'en ai marre de faire la barre, plus 2n plus 3 au carré. Qu'est-ce que je repère tout de suite ? Tout de suite, je repère que là, j'ai 2n plus 3. Et là, j'ai 2n plus 3. Bon, là, ce que je dis, mais tout de suite, il faut avoir le réflexe. On factorise. On factorise par 2n plus 3. Clairement, ça fait 2n plus 3. Facteur 2. En fait, même si vous êtes très astucieux, vous mettez sur 3. Je vais factoriser 2n plus 3 sur 3 parce que c'est un peu chiant. C'est un peu galère de gérer ensuite le tiers autrement. Donc si vous le mettez là, vous allez peut-être gagner du temps. 2n plus 3 sur 3 fois n plus 1 2n plus 1. Plus. Donc là, c'est 2n plus 3 au carré. Donc il va manquer 2n plus 3. Pour bien faire 2n plus 3 fois 2n plus 3 au carré. Sauf que moi, je n'ai pas de sur 3. Il y a un sur 3 ici qu'il faut que je compense en ajoutant 3 ici. Donc voilà. Je mets un petit 3 ici et je vois ce que ça donne. Donc tout ça, c'est bien sympa. Ça va aller à la fin de cette page-là. Je vais vous faire une petite conclusion. Alors j'avoue que les conclusions, je les avais préparées à l'avance mais je ne savais pas combien de place je prendrais pour faire mon corrigé. Voilà. Donc j'ai ce machin. Je vais regarder ce que ça fait. Ça fait 2n plus 3 sur 3. Ensuite. Facteur 2. Là, il y a plein de trucs. Donc il y a 2n carré plus. Alors on le développe. 2n carré plus 1 fois 2n plus 1 fois n. Ça fait plus 3n plus 1. Ok. Super. Plus 3n plus 1. Plus 3 fois 2n 6n. Plus 3 fois 3, 9. Je simplifie un peu. Hop. Je triche parce que je la laisse seule. Et ça fait 2n carré plus 3n plus 6n. Ça fait donc 9n plus 10. Alors là vous avez deux choix. Soit vous faites un delta et tout et vous faites un peu du polynom de 2x2 etc. C'est la galère. Moi je vais plutôt regarder qu'est-ce que je veux. Je sais que je veux du 2n plus 3 sur 3. 2n plus 3 sur 3, je suis content, il est déjà là. Et il est ici. Qu'est-ce qu'il reste ? n plus 2 fois 2n plus 5. Je vais regarder. Astucieux. Je vais mettre n plus 2, 2n plus 5. Comme si de rien n'était sur la copie. Or, tiens, je pense à ça. Or, ça, ça vaut combien ? Je développe. Ça fait 2n carré plus 5n plus 2 fois 2, 4n plus 2 fois 5, 10. 2n carré plus 9n plus 10. Parfait ! Et donc comme ça, vous trouvez la factorisation tout de suite. En fait, vous savez que ça va marcher. Vous faites une récurrence. Donc en fait, vous prenez la réponse, vous dites qu'est-ce qu'il manque ? Il manque ces deux termes-là. J'ai qu'à le prendre, le développer plutôt que de factoriser. En gros, on n'aime pas factoriser, c'est chiant. C'est une règle générale. Factoriser, c'est compliqué. Donc autant aller prendre le truc qu'on a déjà écrit, se dire, bon, je le développe et ça me fait une démonstration. Le prof, il ne peut pas trop dire d'où vous l'avez sorti. Il s'en fiche, il fait démettre. Vous mettez, or, ça. C'est bon, j'ai reconnu, donc c'est bon. Égal 2n plus 3 sur 3 fois n plus 2 fois 2n plus 5. C'est exactement la propriété Pn plus 1. CQFD. Alors, dernier point, bien sûr, très important en rédaction. CQFD, c'est là pour rigoler. Conclusion, on a bien démontré ce que je fais, démontré que quelque soit n, je crois que c'était super égal à 1, P2n. Voilà, pouf, petite conclusion. Voilà, donc en gros, plein de choses, donc c'est pas trop compliqué. Mais c'est utile d'avoir ça parce que des fois, enfin je dis ça par expérience, j'ai vu pas mal d'élèves à chaque fois qui sont là, ils spawnent, ils savent pas quoi faire et des erreurs, des trucs. N'importe quelle petite erreur ou petite maladresse de factorisation peut vous amener à faire des erreurs non prévues. L'idée, c'est pas de ne pas faire d'erreurs, c'est de prendre le chemin optimal où il y a l'opportunité d'en faire le moins. Mettez-vous en danger le moins possible, quoi. Ça, factoriser par 3, c'est une manière de ne pas se mettre en danger aussi, sinon on se retrouve avec des fractions ici, des trucs, on commence à faire une mise sous même dominateur. Là, vous la passez un petit peu différemment, vous la voyez autrement. On la voit comme compenser un 3 par un 3. Bon, après vous allez me dire peut-être que vous préférez mettre tout au même dominateur, mais ça peut être une manière de voir qui aide à aller plus vite. Là, vous faites ça, vous avez ce truc-là, vous vous êtes démontré en 2 secondes. C'est plus rapide de faire ça, d'aller choper l'info dans ce qu'on veut plutôt que de commencer à faire un delta.

Avec une Somme

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