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Théorèmes de Convergence

Une suite est dite majorée lorsqu'elle ne dépasse pas une certaine valeur. Elle peut avoir plusieurs majorants, c'est-à-dire plusieurs valeurs qui la bloquent par le haut. Une suite est minorée lorsqu'elle ne descend pas en dessous d'une certaine valeur. De même, elle peut avoir plusieurs minorants, c'est-à-dire plusieurs valeurs qui la bloquent par le bas. Lorsqu'une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée.

Le théorème de convergence monotone établit que si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. De même, si une suite est décroissante et minorée, elle converge également. Si une suite croissante n'est pas majorée, elle tend vers plus l'infini, tandis qu'une suite décroissante non minorée tend vers moins l'infini.

Il est important de noter que la réciproque du théorème de convergence monotone est fausse. Une suite peut converger sans être croissante ou décroissante. Par exemple, la suite sinus(1/n) converge vers 0, bien qu'elle oscille de manière irrégulière.

Il est essentiel de bien comprendre ces concepts pour éviter de se tromper dans les exercices et les questions de cours.

Dernière vidéo sur ce sujet des théorèmes de convergence. Il faut commencer par des définitions qui sont assez intuitives. La première définition dit qu'on va dire qu'une suite est majorée quand on remarque que la suite, quand elle se balade, n'importe où, quel que soit ses termes, est toujours bloquée par une certaine valeur. D'ailleurs, si elle est bloquée par une certaine valeur, elle est bloquée par aussi toutes les valeurs d'au-dessus. C'est-à-dire que si un peut jamais dépasser genre 3, un ne peut jamais dépasser non plus 1024, si vous voulez. Je dis ça pour bien préciser que être majoré, c'est un concept, mais un majorant, ce n'est pas un concept unique. Il peut y avoir plusieurs majorants, plusieurs valeurs que UN n'arrive pas à dépasser. Il y en aura toujours une infinité, en fait. Si UN ne peut pas dépasser 2, elle ne peut pas dépasser 3, 4, 5, etc. Donc dès que ça bloque, par le haut, on dit que UN est majoré. Si UN est bloqué par le bas, c'est-à-dire qu'UN ne peut jamais descendre en dessous d'une certaine valeur, petit m, on appelle UN minoré. Donc petit m sera un minorant de UN, et de même, si UN ne peut pas descendre plus bas qu'un certain niveau, il y a donc un minorant ici, il y a aussi une infinité de minorants pour ces valeurs-là plus bas. Donc si UN est toujours plus grande ou égale à moins 1, en fait il y a d'autres minorants, parce que c'est vrai aussi que UN est plus grande ou égale à moins 334. Voilà. Quand UN est à la fois majoré et minoré, on appelle UN borné. On dit qu'elle est donc un peu comprise entre deux bornes, si vous voulez. Je peux illustrer ça avec un petit dessin, si vous voulez. Par exemple, la fonction ici, la suite ici en l'occurrence, j'ai tracé 2 moins 1 sur n. On se rend compte que 2 moins 1 sur n, elle monte, et elle est incapable de dépasser le point 2. Alors c'est intéressant, elle est incapable de le faire, elle va toujours être en dessous. Alors ça c'est un exemple. Vous pouvez me dire, ben ouais c'est cool, on a même l'impression que celle-là va converger, ça sera ma transition avec le terrain d'après. Mais il y a d'autres manières d'être borné, donc voilà un exemple. Une autre manière d'être, pas borné en l'occurrence, d'être majoré. Il y a d'autres manières d'être majoré ou minoré, donc je vais vous montrer tout de suite. Voilà une suite L, cette fois-ci en 1 sur x, donc en 1 sur n. Si L est minoré, on voit qu'apparemment quand on dézoome, elle ne descendra jamais en dessous de 0. Mais elle a l'air aussi d'être minorée tout en étant décroissante, ce sont des cas très spécifiques. Autre cas d'une suite bornée, cette fois-ci je fais exprès de la prendre ni en train de décroître, ni en train de croître. La suite sinusine sur n, qu'on voit tout le temps dans ce chapitre, elle est bornée parce qu'elle ne dépassera jamais 1 et moins 1, mais pour autant elle bouge un peu comme elle veut, donc elle est bloquée entre 1 et moins 1, c'est vrai. Mais elle fait plein de trucs entre les deux, il n'y a pas de raison qu'elle soit spécialement croissante ou décroissante. Voilà des exemples de suites bornées. Avant de passer au théorème proprement dit, je voulais revenir sur cette idée d'être bornée. Encore une fois, Un égale 2 moins 1 sur n, celle qui était croissante tout à l'heure, est plus petite que 2, c'est vrai. Mais elle est aussi plus petite que 4, et plus petite que 546. Il y a beaucoup beaucoup de majorampes aussi, très bien. Le théorème de convergence monotone lui-même. Le théorème de convergence monotone associe le fait d'être croissante au fait d'être majoré, et nous dit, si on ne fait que monter et qu'on est majoré, alors on converge. Et c'est un peu l'intuition qu'on vient de voir sur les dessins. C'est vrai qu'il y a moyen d'être bornée en faisant n'importe quoi, mais il y a des cas très jolis où c'est borné, c'est majoré si vous voulez, c'est majoré en montant, et on sent que quand c'est majoré en montant, en effet ça vient se coller à une valeur. Et donc c'est ça le théorème de convergence monotone, ça correspond à cette intuition là. Donc encore une fois, faites attention, la manière de l'utiliser c'est pas de dire... Le théorème de convergence monotone ne donne pas accès à une valeur de limite. Il vous dit juste, si vous savez montrer qu'elle est croissante, donc ici UN on sait montrer qu'elle est croissante, 1 sur N c'est décroissant donc moins 1 sur N c'est croissant, si vous savez qu'elle est majorée, par exemple ici je sais que UN est plus petit que 546, alors elle converge. Voilà. Mais ici je pourrais pas dire que UN converge à 546. C'est faux. Pour savoir vers quoi elle converge, il faut que je fasse une étude plus poussée. Ici c'est pas très poussé, c'est 1 sur N tend vers 0 donc UN tend vers 2. Mais donc la donnée du majorant ne me donne pas la donnée de la limite si vous voulez. C'est ça que je voulais préciser. Donc ça c'est la version convergente, simple. Il y a aussi la version où si ça décroît, donc comme on a vu tout à l'heure, quand c'est décroît et minoré ça converge. Il y a aussi la version que j'ai mis en rose là, qui dit que toute suite qu'elle est croissante mais cette fois-ci non majorée, va tendre vers plus infini. C'est assez intuitif, il n'y a rien pour la bloquer. Donc elle monte tout le temps, elle va vers plus infini, voilà. De la même manière, tout de suite décroissante qui est non minorée ne va jamais être bloquée vers le bas, elle va donc tendre vers moins infini. Simple. Je veux conclure cette vidéo par, vraiment un truc important, le fait que la réciproque de ce théorème est fausse. Donc j'essaie de vous donner beaucoup d'exemples graphiques pour que vous n'ayez pas de fausses idées sur tout ce qui peut se passer, parce qu'en gros ils vont jouer dans les exercices sur ces fausses idées que vous pouvez vous construire juste pour vous piéger. Donc j'essaie de vous les montrer. La réciproque du théorème est fausse, c'est-à-dire que c'est pas parce qu'on converge on peut converger sans être aucune des deux, comme on a vu avec sinusène sur n. Sinusène sur n, on sait que ça tend vers 0, pourtant ça oscille de manière un peu moche. De la même manière, c'est pas parce qu'on est en train de tendre vers plus infini qu'on est nécessairement croissante, ou vers moins infini qu'on est nécessairement décroissante. Je vous montre un petit contre-exemple, encore un, pour ces deux-là. Donc par exemple, je prends la suite, encore du sinus. Dès qu'on voit un contre-exemple, souvent on prend des sinus parce que ça fait des trucs moches et ça permet justement de voir ces fausses idées. Si je prends le sinus là et que je vous l'illustre, vous allez voir ce que ça fait. Boum ! Ça vous fait la fonction en violet et toujours en rouge les points de la suite. Vous voyez qu'elle monte, monte, monte, monte, cette suite. La fonction là, si je la suis, elle part. Bon là j'ai pas assez de points, hop, hop, hop. Ça part vers plus infini, c'est clair. Ça s'est tiré par le n sur 2. Et le sinus, lui, il ne fait que osciller. Mais qu'est-ce qu'il se passe ? La fonction ici, ou la suite si vous voulez, la suite n'est pas croissante. La suite n'est pas croissante. Je vois qu'elle fait croissance, décroissance, croissance, décroissance. Il y a des cycles de croissance, décroissance. C'est juste que quand elle monte, elle monte plus que ce qu'elle descend après. Donc au final, elle va vers plus infini. Et donc on ne peut pas dire que cette suite est croissante et pourtant, elle tend vers plus infini. Voilà, c'est tout ce que j'avais à dire sur ce théorème. Je pense que là, j'ai bien souligné, surtout là, ce qui compte pour moi, c'est les cas que vous pouvez imaginer sans faire exprès. Vous dire, bah si ça tend vers plus infini, c'est que c'est croissant. Non, voilà contre-exemple. Comme ça, vous ne vous ferez pas piéger par les questions de cours ou les QCM. Voilà, si vous avez des questions, venez voir dans la FAQ si des gens n'ont pas déjà posé. Venez discuter avec les autres étudiants et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Définitions + th de CV monotone

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