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Théorèmes de Convergence

Le cours explique comment démontrer le théorème de divergence en mathématiques, en utilisant une approche SEO-friendly. Le professeur commence par expliquer que malgré l'avantage de ce théorème de se passer des démonstrations en epsilon et en grand A, il est nécessaire de revenir à la définition pour la démontrer. Le professeur démontre ensuite que si la limite d'une suite tend vers l'infini, alors il existe un certain rang à partir duquel tous les éléments de cette suite sont plus grands qu'un certain nombre A positif. En utilisant cette information, le professeur conclut que pour tout A positif, il existe un certain rang à partir duquel tous les éléments de la suite sont plus grands que A. Finalement, le professeur résume cette démonstration en expliquant que pour tout A positif, il existe un certain rang à partir duquel tous les éléments de la suite sont plus grands que A, ce qui correspond à la définition de la divergence vers l'infini. En utilisant cette démonstration, il n'est plus nécessaire d'utiliser des démonstrations plus complexes avec des grands A et des petits epsilon.

Pour la démonstration, je vous ai dit tout à l'heure que l'avantage de ce théorème c'est qu'on n'aura plus à utiliser des démonstrations en epsilon, en grand A, etc. Malheureusement, pour le démontrer, il faut faire ça, c'est-à-dire qu'il faut revenir un peu à la définition. J'ai mis un petit rappel ici de qu'est-ce que c'est tendre vers plus infini pour une suite. Et on va démontrer ça, c'est assez simple en fait. On traduit, première étape, donc on nous dit si limite de U n égale plus infini, alors quelque chose. Traduisons le limite de U n tendre vers plus infini. Si je vous dis limite de U n en plus infini égale plus infini, je peux en déduire que pour un A positif quelconque, je sais qu'il existe un certain rang, un certain grand N appartient à N, tel que pour tous les éléments de la suite au-dessus de ce grand N, ma suite finit par être plus grande que le grand A. Très bien. Or, quel que soit N, on sait que V n est plus grand que U n, donc je sais qu'il existe... Je peux utiliser ce grand N, donc je peux conclure que quel que soit N plus grand ou égal à grand N, si vous voulez, je vais chercher cette égalité et je la combine. Quel que soit N plus grand ou égal à grand N, je la combine avec celle-ci. Je peux conclure que V n est plus grand ou égal à U n, plus grand ou égal à A. Donc je me retrouve avec un A quelconque positif, tout bêtement à dire quel que soit N plus grand ou égal à N, V n plus grand ou égal à A. C'est la définition de la divergence en plus de l'infini. Tout bêtement, si vous voulez, si je réécris un peu de manière globale, pour ce A positif, on a un grand N tel que quel que soit N plus grand ou égal à ce grand N, V n plus grand ou égal à A. Je suis passé par le fait que V n est plus grand que U n, mais c'est ça ma conclusion, et si vous réfléchissez bien à ça, c'est exactement la définition de la divergence vers plus infini qui est au-dessus. Parfait, c'est torché. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ, bien sûr, si vous avez des doutes, mais c'est l'idée de cette démonstration un peu courte, très efficace, et la faire une fois ici vous permet de ne plus jamais utiliser ces grands A, ces petits epsilon ou ces grands A dans tous les exercices où vous pourrez utiliser le terrain de comparaison.

Théorème de comparaison - démonstration

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