Home

2BAC SM Maroc

Maths SM&SP

Analyse

Théorèmes de Convergence

Le théorème d'encadrement, aussi appelé le théorème des gendarmes, est l'équivalent du théorème de comparaison pour les limites finies. Il permet de démontrer que si une suite est "encadrée" entre deux autres suites convergentes vers la même limite, alors cette suite sera également convergente vers cette même limite.

Pour illustrer ce concept, prenons l'exemple de la suite sinus n sur n. Cette suite est un peu complexe à analyser directement, mais nous pouvons l'encadrer en utilisant les fonctions sinx sur x et les suites 1 sur n et -1 sur n, qui convergent toutes deux vers 0. En utilisant le théorème des gendarmes, nous pouvons donc conclure que la suite sinus n sur n converge également vers 0.

Il est important de noter que le théorème des gendarmes n'est pas toujours applicable et que parfois nous avons moins d'informations pour pouvoir déduire autant. Cependant, une propriété importante à retenir est que si deux suites un et vn sont ordonnées, c'est-à-dire que un est toujours plus petit que vn, et que ces deux suites convergent, alors leurs limites seront également ordonnées de la même manière, la limite de un étant plus petite que la limite de vn.

N'hésitez pas à poser des questions et à discuter avec d'autres étudiants pour clarifier des points.

On avait le théorème de comparaison, qui vous permettait de démontrer qu'une suite VN allait tendre vers plus l'infini, uniquement en la comparant à une suite UN plus petite, et potentiellement avec une expression plus simple. L'équivalent pour une limite finie va s'appeler le théorème d'encadrement, ou théorème des gendarmes, et il va vous permettre de montrer qu'une suite va tendre, cette fois-ci, vers un réel fini. Bon, bah en gros, quand vous avez UN, VN, WN, imaginons que UN est prise en sandwich un peu entre VN et WN, qu'elle est tout le temps genre comprise entre les deux, c'est-à-dire qu'UN est plus grande que VN, plus petite que WN, si, en même temps, on a d'un côté VN et de l'autre côté WN qui viennent converger vers la même limite L, alors UN, qui est coincée au milieu, va elle aussi converger vers L. C'est assez intuitif, la combinaison de ce théorème pour une limite finie et le théorème de comparaison pour une limite infinie vous permet d'accéder à pas mal de résultats sur les suites, sans jamais vous embêter, encore une fois, avec les définitions formelles d'ε et d'A. Donc c'est très pratique, et maintenant on va essayer de l'illustrer avec un petit exemple quand même. Voilà, ici j'ai tracé la fonction sinx sur x, qui est une espèce de sinus écrasé qui a l'air de converger vers 0. Si je trace la suite, donc sinn sur n, je sens donc que ces points se rapprochent de plus en plus de 0 et qu'on va avoir une suite convergente. Le problème c'est que sinn sur n, c'est très laid, c'est un peu compliqué à gérer et donc je ne vais pas pouvoir le faire comme ça. C'est là que va intervenir le terrain des gendarmes. Sinn n, sinn x en général, c'est très simple à encadrer, c'est compris entre –1 et 1. Par exemple, sinπ sur 2 ça vaut 1, sin3π sur 2 ça vaut –1. Qu'est-ce qu'on va écrire ? Si on sait que sinx c'est compris entre –1 et 1, sinx sur x c'est compris entre –1 sur x et 1 sur x. C'est pour ça que si je trace les deux fonctions, je vois que ça l'encadre parfaitement. Si je fais de même avec les suites maintenant, je vois donc que ma suite sinus n sur n est parfaitement encadrée par la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n. Or la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n c'est très basique, c'est dans le cours, on sait que ça converge vers 0. En appliquant le terrain des gendarmes à ce genre de cas, je peux donc conclure que comme la suite rouge, sin n sur n, est encadrée par deux suites pour lesquelles je connais la limite commune qui est 0, alors ma suite rouge, qui est moche et un peu dure à analyser en soi, je vais quand même pouvoir démontrer et affirmer qu'elle tend vers 0 également. Le truc en maths c'est que malheureusement vous n'avez pas tout le temps des jolies situations comme ça, avec un super terrain des gendarmes, un bel encadrement et tout qui marche bien. Des fois en fait on n'a pas grand chose, on a moins d'infos et on se retrouve à pouvoir dire moins de choses. Mais bon, néanmoins il y a quand même des trucs que vous pouvez dire. Donc un résultat super intuitif, je veux dire si vous êtes intuitif vous allez me dire oui d'accord merci, mais quand même il faut l'apprendre et savoir que c'est une propriété du cours, c'est que si vous avez deux suites, un et vn, et elles sont ordonnées, c'est à dire qu'on sait que un est toujours plus petit que vn, si ces deux suites convergent, on peut dire que quand un est plus petit que vn, alors leurs limites seront rangées dans les mêmes ordres, la limite de vn sera plus petite que la limite de vn. C'est intuitif, mais bon c'est une propriété qu'il faut connaître. Voilà, j'espère que sur le terrain des gendarmes on est clair. Dites-moi, pareil, posez-moi des questions, venez discuter avec les autres étudiants dans la FAQ, et puis je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Théorème des gendarmes

RELATED

Recommended videos

Intro Convergence

Théorème de comparaison - illustration

Théorème des gendarmes

Nos années

Nos principales matières