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Théorèmes de Convergence

Le théorème d'encadrement, également connu sous le nom de théorème des gendarmes, permet de montrer que si une suite est prise en sandwich entre deux autres suites qui convergent vers la même limite finie, alors elle converge également vers cette limite. Ce théorème peut être utilisé pour démontrer des résultats sur les suites sans avoir à s'embêter avec les définitions formelles.

Dans l'exemple donné, la fonction sin(x) est tracée et semble converger vers 0. Cependant, la suite sin(n)/n est plus difficile à gérer. Pour simplifier, on peut encadrer sin(x)/x entre -1/x et 1/x. En traçant les deux fonctions, on constate qu'elles encadrent parfaitement la suite sin(n)/n. On sait que les suites 1/n et -1/n convergent vers 0, donc on peut conclure que la suite sin(n)/n converge également vers 0.

Il est important de noter que même si le théorème des gendarmes peut être très pratique, il ne s'applique pas toujours et il est possible de dire moins de choses dans certaines situations. Cependant, une propriété importante à retenir est que si deux suites sont ordonnées (un toujours plus petit que vn) et qu'elles convergent, alors leurs limites respectives seront également ordonnées (la limite de vn sera plus petite que la limite de vn).

On avait le théorème de comparaison, qui vous permettait de démontrer qu'une suite VN allait tendre vers plus l'infini, uniquement en la comparant à une suite UN plus petite, et potentiellement avec une expression plus simple. L'équivalent pour une limite finie va s'appeler le théorème d'encadrement, ou théorème des gendarmes, et il va vous permettre de montrer qu'une suite va tendre, cette fois-ci, vers un réel fini. Bon, bah en gros, quand vous avez UN, VN, WN, imaginons que UN est prise en sandwich un peu entre VN et WN, qu'elle est tout le temps genre comprise entre les deux, c'est-à-dire qu'UN est plus grande que VN, plus petite que WN, si, en même temps, on a d'un côté VN et de l'autre côté WN qui viennent converger vers la même limite L, alors UN, qui est coincée au milieu, va elle aussi converger vers L. C'est assez intuitif, la combinaison de ce théorème pour une limite finie et le théorème de comparaison pour une limite infinie vous permet d'accéder à pas mal de résultats sur les suites, sans jamais vous embêter, encore une fois, avec les définitions formelles d'ε et d'A. Donc c'est très pratique, et maintenant on va essayer de l'illustrer avec un petit exemple quand même. Voilà, ici j'ai tracé la fonction sinx sur x, qui est une espèce de sinus écrasé qui a l'air de converger vers 0. Si je trace la suite, donc sinn sur n, je sens donc que ces points se rapprochent de plus en plus de 0 et qu'on va avoir une suite convergente. Le problème c'est que sinn sur n, c'est très laid, c'est un peu compliqué à gérer et donc je ne vais pas pouvoir le faire comme ça. C'est là que va intervenir le terrain des gendarmes. Sinn n, sinn x en général, c'est très simple à encadrer, c'est compris entre –1 et 1. Par exemple, sinπ sur 2 ça vaut 1, sin3π sur 2 ça vaut –1. Qu'est-ce qu'on va écrire ? Si on sait que sinx c'est compris entre –1 et 1, sinx sur x c'est compris entre –1 sur x et 1 sur x. C'est pour ça que si je trace les deux fonctions, je vois que ça l'encadre parfaitement. Si je fais de même avec les suites maintenant, je vois donc que ma suite sinus n sur n est parfaitement encadrée par la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n. Or la suite des 1 sur n et la suite des –1 sur n c'est très basique, c'est dans le cours, on sait que ça converge vers 0. En appliquant le terrain des gendarmes à ce genre de cas, je peux donc conclure que comme la suite rouge, sin n sur n, est encadrée par deux suites pour lesquelles je connais la limite commune qui est 0, alors ma suite rouge, qui est moche et un peu dure à analyser en soi, je vais quand même pouvoir démontrer et affirmer qu'elle tend vers 0 également. Le truc en maths c'est que malheureusement vous n'avez pas tout le temps des jolies situations comme ça, avec un super terrain des gendarmes, un bel encadrement et tout qui marche bien. Des fois en fait on n'a pas grand chose, on a moins d'infos et on se retrouve à pouvoir dire moins de choses. Mais bon, néanmoins il y a quand même des trucs que vous pouvez dire. Donc un résultat super intuitif, je veux dire si vous êtes intuitif vous allez me dire oui d'accord merci, mais quand même il faut l'apprendre et savoir que c'est une propriété du cours, c'est que si vous avez deux suites, un et vn, et elles sont ordonnées, c'est à dire qu'on sait que un est toujours plus petit que vn, si ces deux suites convergent, on peut dire que quand un est plus petit que vn, alors leurs limites seront rangées dans les mêmes ordres, la limite de vn sera plus petite que la limite de vn. C'est intuitif, mais bon c'est une propriété qu'il faut connaître. Voilà, j'espère que sur le terrain des gendarmes on est clair. Dites-moi, pareil, posez-moi des questions, venez discuter avec les autres étudiants dans la FAQ, et puis je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Théorème des gendarmes

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