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Th convergence monotone - démo
Le théorème de convergence monotone démontre que dans le cas d'une suite croissante non majorée, c'est-à-dire une suite qui n'est jamais bloquée, celle-ci tend vers l'infini. On va revenir à la définition formelle de la convergence vers l'infini et on va réaliser que c'est quasiment la même chose que cette définition formelle, donc la démonstration ne sera pas compliquée.
On commence par fixer un A positif strict. L'objectif sera de montrer qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A. Ce qui signifie que tout A finira par être dépassé. Comme la suite UN n'est pas majorée, il existera donc un rang P tel qu'à partir de ce rang, UP sera plus grand que A.
En combinant cela avec le fait que la suite est croissante, on peut affirmer que pour tout N supérieur à P, UN sera toujours plus grand que UP. Cela signifie donc qu'à partir de P, pour tout N supérieur à P, UN sera strictement supérieur à A.
Ainsi, on a démontré que pour tout A fixé, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A. Cela confirme donc la convergence vers l'infini. Deux conclusions sont à retenir : la suite finit toujours par être au-dessus de tout A fixé et cela explique le concept de tendance vers l'infini.
C'est tout pour cette démonstration, à la prochaine.
