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Analyse

Théorèmes de Convergence

Dans ce cours, nous étudions les fonctions sinus et moins 1 plus sin dans le contexte des théorèmes de convergence. Nous examinons la suite un = n + 2*sin(n) et montrons que pour tout n, un est supérieur à n-2.

Pour cela, nous utilisons l'encadrement du sinus entre -1 et 1 pour obtenir un encadrement de un. Puisque le sinus n'a pas de limite définie, il est essentiel de l'encadrer. En multipliant le sinus par 2 (ce qui est positif) et en ajoutant n, nous obtenons un qui est supérieur à n-2. Bien que cette partie de l'inéquation ne soit pas notre objectif, elle est néanmoins vraie.

En effet, un est compris entre n-2 et n+2. Nous nous intéressons principalement à la première partie de cette inéquation. Puisque n-2 tend vers l'infini et que un est supérieur à une suite qui tend vers l'infini, nous pouvons conclure, par comparaison, que un tend vers l'infini.

Dans le deuxième exemple, nous considérons la suite Vn = -n^2 - n + (-1)^n. Encore une fois, nous utilisons l'encadrement de (-1)^n entre -1 et 1 car cette fonction n'a pas de limite. Nous remarquons que le terme dominant est n^2, alors que (-1)^n n'a qu'un rôle mineur.

Nous faisons l'encadrement de Vn en ajoutant (-1)^n, puis nous obtenons une suite qui tend vers moins l'infini. En factorisant le terme de plus haut degré, nous obtenons Vn < n^2*(-1) + (-1/n) + (1/n^2). La partie de droite tend vers 1, alors que la partie avec le minus tend vers moins 1. Ainsi, n^2*(-1) - n + 1 tend vers moins l'infini.

En utilisant la comparaison avec une suite qui tend vers moins l'infini, nous concluons que Vn tend vers moins l'infini. Ainsi, ces deux exemples illustrent l'utilisation de l'encadrement pour traiter des suites impliquant des fonctions sinus ou (-1)^n.

Désormais on va faire une petite application des théorèmes de convergences pour les fonctions sinus et moins 1 plus sin, en fait on est dans le même cas. On va étudier la suite un égale n plus 2 fois sin n. L'exercice est guidé, on nous demande de montrer que pour toute n, un supérieur à n-2. Là j'ai pas le choix, à chaque fois que je vois du sinus, je vais l'encadrer. Donc le sinus n'a pas de limite, je vais pas pouvoir trouver la limite, il faut que je l'encadre. Donc le sinus n, comme tout sinus, il est compris entre moins 1 et ensuite je construis ma suite un à partir de là. Je vais multiplier par 2, c'est positif. Ensuite je rajoute plus n et donc je me retrouve avec un qui est supérieur à n-2. Cette partie-là de l'inéquation ne m'intéresse pas en fait mais elle est vraie. En fait un est compris entre n-2 et n plus 2. Moi ce qui m'intéresse c'est cette partie ici. Un est supérieur à n-2 et en fait n-2 tend vers plus infini par limite usuelle et un est plus grande qu'une suite qui tend vers l'infini. Donc par comparaison j'ai bien un qui tend vers l'infini. Deuxième exemple maintenant, on a Vn qui vaut moins n carré moins n plus moins 1 puissance n. Là c'est pareil, dès qu'on voit un moins 1 puissance n, on se dit bon bah je vais devoir encadrer parce que ça n'a pas de limite, c'est aussi entre moins 1 et 1. Là on voit tout de suite, c'est toujours bien de comprendre ce qui se passe dans la suite. Le moins 1 puissance n va jouer un rôle mineur parce que ça va faire moins 1 plus 1 moins 1 plus 1, alors que là j'ai quelque chose qui tend vers moins infini à cause du moyen carré et le moyen d'ailleurs aussi. Mais on sait que celui qui est dominant c'est le moyen carré. Donc ce moins 1 puissance n ne va pas du tout me gêner mais quand même je dois faire la démonstration proprement donc je vais faire par encadrement. Le moins 1 puissance n je dis que c'est entre moins 1 et 1, il me manque un moins. Et donc là je rajoute moins n carré moins n, une simple addition. Finalement j'ai encadré ma suite et je me retrouve avec Vn qui est inférieur à cette suite là, qui tend vers moins l'infini. Je le remonte proprement, je factorise par le terme de plus haut degré, ça fait n carré facteur de moins 1, moins 1 sur n, plus 1 sur n carré. La partie à droite tend vers 1, là ça tend vers moins 1 évidemment, le moins est important ici parce que ça va faire moins 1 plus l'infini. Donc moins n carré moins n plus 1 tend vers moins l'infini. Et donc comme ma suite Vn est plus petite qu'une suite qui tend vers moins l'infini, par comparaison j'ai Vn qui tend vers moins l'infini. Donc voilà deux exemples comment utiliser l'encadrement pour une suite qui fait intervenir sinus ou moins 1 puissance n.

Encadrer sin(n)

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