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Analyse

Théorèmes de Convergence

Dans cette méthode, on étudie une suite qui est une fonction rationnelle de n, où le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur. La limite de cette suite est le quotient des coefficients dominants des polynômes constituant le numérateur et le dénominateur. On s'intéresse aux résultats préliminaires tels que la majoration, la croissance et la convergence.

Dans le premier exercice, on considère la suite Un = (n-1)/(n+4) et on veut montrer qu'elle est majorée par 1. Pour cela, on remarque que le numérateur est plus petit que le dénominateur si c'est plus petit que 1. On peut alors partir de -1, dire que -1 est plus petit que 4, ajouter n, et ensuite faire le quotient. Comme c'est positif, le signe ne change pas, donc on en déduit que Un est strictement inférieur à 1.

Pour étudier la monotonie de la suite, on utilise généralement Un+1 - Un. On peut parfois utiliser le quotient, mais il faut vérifier certaines conditions, comme le fait que Un ne s'annule jamais et qu'elle ne change pas de signe. Si la suite est constituée de produits de quotients ou de factoriels, on peut étudier le quotient Un+1/Un. Dans ce cas, on peut dire que la suite ne change pas de signe à partir d'un certain rang, car on s'intéresse à ce qui se passe à l'infini.

On peut également utiliser la méthode du quotient Un+1/Un pour étudier les variations de la suite. On fait la différence entre deux quotients et on simplifie au maximum en développant. On peut alors observer les termes qui se suppriment. Si tous les termes restants sont positifs, on en déduit que la suite est strictement croissante. Si la suite est croissante et majorée, on peut conclure qu'elle est convergente. Cependant, la méthode du quotient ne permet pas de connaître la limite de la suite.

Enfin, les exemples donnés dans le texte montrent qu'il est possible de trouver un majorant de la suite, mais cela ne garantit pas que la suite converge vers ce majorant. Il est important de faire attention à cela lors de l'utilisation des théorèmes de convergence.

Dans cette dernière méthode, on va revenir au cas que j'avais mentionné à la vidéo 6, où on a une fonction rationnelle, où la suite est sous forme d'une fonction rationnelle de n, et le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, et là, la limite va être le quotient des coefficients dominants de chacun des polynômes, qui constituent le numérateur et le dénominateur. Mais là, on ne va pas s'intéresser à la limite en elle-même, mais aux résultats préliminaires qu'on peut montrer, comme la majoration, la croissance, et en déduire la convergence avec les théorèmes de convergence. Donc là, par exemple, premier exercice, on considère la suite U n égale n-1 sur n plus 4. Donc là, on veut montrer que c'est majoré par 1 dans cette question. Donc là, ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu'en fait, le numérateur est plus petit que le dénominateur, si c'est plus petit que 1. Une fois qu'on a compris ça, c'est vrai que c'est plutôt facile, on se dit que je pars de moins 1, je dis que moins 1 est plus petit que 4, j'ajoute n, et ensuite je fais le quotient. Et comme c'est positive, ça ne change pas le signe, donc j'en déduis que U n est strictement inférieur à 1. Pour étudier la monotonie d'une suite, ensuite on nous demande la monotonie. Là, franchement, tout le temps, quasi tout le temps, c'est U n plus 1 moins U n. Dans de rares cas, on peut faire l'étude du quotient et regarder s'il est plus petit ou plus grand que 1. Mais il faut des conditions pour ça. La première condition, c'est qu'il faut que U n ne s'annule jamais. Et il faut que U n ne change pas de signe. Donc il faut d'abord s'assurer de ça avant d'étudier le U n plus 1 sur U n. Dans quel cas c'est intéressant ? C'est quand, d'étudier plutôt le quotient, c'est quand la suite elle-même est constituée de produits de quotient ou des factoriels, par exemple, où ça se simplifie, quand on fait U n plus 1 sur U n. Là, ça peut très bien marcher, puisqu'elle ne change pas de signe, la suite, à part en 0 où elle va être négative. En tout cas, l'important, c'est qu'elle ne change pas de signe à partir d'un certain rang. Puisque la limite, de toute façon, on s'intéresse à ce qui se passe en plus de l'infini. Peu importe si sur les trois premiers termes elle est négative. Donc on pourrait le faire. Finalement, la méthode du dual U n plus 1 sur U n fonctionne très bien. Donc on fait U n plus 1 sur U n. Là, je fais ma différence. Là, je n'ai pas trop le choix, j'ai deux quotients. Je mets tout au même numérateur. Je mets tout sur n plus 5, n plus 4. Moi, ça me va, parce que ce que je veux, c'est juste le signe. Ce dénumérateur, je vois qu'il est positif, n plus 4, n plus 5. Ce qui m'intéresse, ça va être juste le signe du numérateur. Là, je développe tout, parce que vraisemblablement, quand je vois ça, je ne peux rien factoriser. Je développe tout et on va voir ce qu'il reste. Je vois que les n carrés sautent. J'ai du 4n plus 5n moins n. Ça aussi, ça saute, ça tombe bien. Ensuite, j'ai du moins moins 5, n'oublions pas le moins ici. Ça fait plus 5, c'est positif. Tout est positif là-dedans. J'en déduis que U n est strictement croissante, strictement positif. Ensuite, U n est croissante et majorée, donc elle est convergente. Le terme de convergence ne me permet pas de connaître la limite. Je sais juste que c'est convergent, que U n est convergent. Après, comme je vois que c'est une fonction rationnelle, on a vu la méthode 6 et je peux facilement montrer que ça tend vers 1. Je prends les coefficients dominants de ces deux polynômes. Ici, c'est 1, c'est 1n moins 1 et 1n plus 4. Ça fait 1 sur 1, ça donne 1. Je pourrais donner la limite. Petite remarque, la limite, ce n'est pas forcément le majorant qu'on a trouvé. C'est très important. Je vous donne un exemple ici. Ma fonction est bien croissante. Elle est majorée par un réel que j'ai appelé m, mais elle ne tend pas vers m, elle tend vers l. Si on trouve un majorant, ici j'ai trouvé un majorant qui est 1, ça ne veut pas dire que la suite tend vers 1. En l'occurrence, c'est le cas. Elle tend bien vers 1, mais je ne peux pas le déduire grâce à mon théorème de convergence. Moi, j'en déduis juste la convergence, mais je ne sais pas vers quoi avec ces théorèmes-là. Ça, c'est très important. Deuxième exemple maintenant, du même style. On a um égale 2n moins 2 sur n plus 4. Là, c'est pareil. Si j'utilise la méthode du 6, je sais que ça va tendre vers 2, cette limite. Je vois que c'est deux polynômes de même degré. Le coefficient dominant ici, c'est 2. Ici, c'est 1. Faire 2 sur 1, ça va tendre vers 2. Mais ce n'est pas l'objet de l'exercice. L'objet de l'exercice, c'est de montrer d'abord que c'est majoré, étudier les variations de un et en déduire la convergence. Là, on veut montrer que c'est plus petit que 2. Quand on voit ça, on voit 2n moins 2 sur n plus 4. Là, il faut avoir un peu d'intuition, dire que je vais essayer de faire par majoration successive. On va voir si ça marche. Des fois, la majoration qu'on a faite est trop grossière. On se dit que ça ne marche pas. Il faut tenter. 2n moins 2, je dis que c'est plus petit que 2n. n plus 4, je dis que c'est plus grand que n. Par caution, je prends l'inverse. Je dis que 1 sur n est plus grand que 1 sur n moins 4. Je dis que c'est plus grand que 0. Pourquoi ? Parce que je vais multiplier les deux inégalités. Je vous conseille de ne jamais diviser une inégalité par une autre. Elles ne sont pas dans le bon sens, il faut les inverser. C'est le meilleur moyen de faire une erreur. Le mieux, c'est de toujours écrire les inégalités dans le même sens. Plus petit que, plus petit que, plus petit que. Et de les multiplier entre elles. Pas de les diviser. Des fois, on oublie d'inverser. C'est très important parce qu'on sait que la multiplication peut faire changer le signe. C'est pour ça que ce plus grand que 0 est capital. Je m'assure que les termes sont positifs. Quand je vais multiplier cette inégalité avec celle-ci, ça ne va pas changer le signe. Attention, 2n-2 pour n égale à 0, ce n'est pas positif. Là, il y a un petit cas regardé en 0. En tout cas, à partir de 1, c'est bon. C'est positif. Qu'est-ce que je peux dire ? Je peux dire que pour toute n appartenant à n étoile, j'ai 0 qui est plus petit que 2n-2 et qui est plus petit que 2n. 0 qui est plus petit que 1 sur n plus 4 qui est plus petit que 1 sur n. Et là, je peux tout multiplier. Donc, ça me fait 2n-2 divisé par n plus 4 qui est plus petit que 2n sur n qui fait lui-même 2. J'en ai dit que un super inférieur à 2. Ensuite, on s'intéresse au cas en 0 qu'on a dû exclure. Là, pas de problème puisque 0, je peux faire le calcul, ça fait moins 1,5. C'est bien plus petit que 2. Finalement, au global, j'ai bien pour toute n appartenant à n un qui est inférieur à 2. Deuxième question, on me demande d'étudier les variations de la suite un. C'est pareil, je vais étudier la différence. J'ai deux quotients. Attention, des fois je vois l'erreur. Quand un plus 1, c'est tout simplement que je remplace les n par n plus 1. Mais mettez des parenthèses s'il le faut. Là, c'est deux fois n plus 1, ça fait 2n plus 2, pas 2n plus 1. Quand je développe, ça fait 2n plus 2. Je mets tout le même dénominateur. Je développe, un peu comme tout à l'heure, parce que là, je vois que je ne peux rien refactoriser. Je développe tout et je regarde ce qui se supprime. Heureusement, il y a pas mal de choses qui se suppriment. Il y a le 2n², il y a du 8n, 10n, 2n, tout ça, ça part. Il ne me reste que 10. Très bien, tout est positif là-dedans. C'est strictement positif. Ma fonction un est strictement croissante. Idem, qu'est-ce que je sais ? J'ai ma suite un qui est majorée, un qui est strictement croissante. D'après l'héterogène de convergence, un converge. Mais on ne sait pas vers quelle limite. Je l'ai bien remis ici, une suite croissante majorée ne converge pas forcément vers ce majorant. Il peut converger vers quelque chose de plus bas. Les deux exemples qu'on a fait ne sont pas très représentatifs, parce qu'en l'occurrence, ils convergent bien vers 2, ce que je disais tout à l'heure. Mais si j'avais montré qu'elle était inférieure à 4, elle converge vers 2. Faites bien attention à ça. Pour ces deux exemples, comme d'habitude, si vous avez des questions, vous pouvez aller dans la FAQ.

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