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Analyse

Théorèmes de Convergence

Les suites adjacentes sont étudiées dans ce cours. Deux suites sont couplées et imbriquées l'une par rapport à l'autre. Une combinaison linéaire est utilisée pour simplifier le problème. On découvre que VN-UN est une suite géométrique de raison un tiers, avec un signe constant. On en déduit que UN et VN sont monotones et de sens de variation opposé. De plus, VN-UN tend vers zéro, ce qui montre que les deux suites sont adjacentes et convergent vers une limite commune L. En utilisant cette information, on obtient l'équation U0+V0=2L, ce qui permet de trouver la valeur de L. La subtilité est que cette fois-ci, c'est aux étudiants de trouver les combinaisons linéaires.

Et à tous, maintenant on va parler des suites adjacentes, donc les suites adjacentes que vous connaissez déjà depuis la terminale. Simplement, en supe, elles servent toujours, bien sûr, et vous aurez des exercices un peu plus compliqués en terminale. On commence d'abord par une méthode assez simple, et ensuite, prochaine vidéo, on reviendra sur une méthode un peu plus complexe, qui sera un peu le modèle de ce que vous pourrez avoir, que ce soit en col ou à l'écrit. C'est parti ! Alors, on a deux suites qui sont couplées, ce qu'on appelle couplées, c'est-à-dire qu'elles sont imbriquées l'une par rapport à l'autre. On a une relation de récurrence qui fait intervenir dans UN+, UN, et VN, et la même chose dans VN+, UN, et VN. Donc là, le jeu, ça va être de trouver une combinaison linéaire de ça, qui va simplifier un peu le problème. L'énoncé ne nous suggère pas de solution, uniquement en terminale, que vous auriez pu avoir, on vous aurait suggéré, voilà, posons WN égale, maintenant ça va être à vous de trouver WN, et grâce à ça, on va déduire ensuite la limite de UN et VN. Alors, déjà, quand on nous dit étudier les suites, ça veut dire quoi ? Pour les suites, c'est tout le temps la même chose, ça veut dire étudier le sens de variation, donc c'est bon, c'est parti. On calcule UN+, UN, et on se rend compte que, si on fait le calcul, ça fait un tiers de VN-UN, et VN+, UN-VN, ça fait moins un tiers de VN-UN, et d'autre part, VN+, UN-VN, vaut aussi un tiers de VN-UN. Donc, qu'est-ce qu'on en déduit ? On en déduit, en fait, que VN-UN est une suite géométrique de raison un tiers, et donc c'est ça, cette fameuse combinaison linéaire qui va nous aider, puisqu'on sera capable de déterminer l'expression facilement de VN-UN. Ce qu'on remarque aussi, c'est que comme elle est géométrique de raison un tiers, donc une raison positive, ça veut dire que le signe est constant de cette suite. Alors, j'en déduis deux choses, comme on a VN+, UN-VN qui est égal à VN-UN, et là, UN+, UN-UN qui est égal aussi à VN-UN pour un tiers, on en déduit que tout ça, c'est deux signes constants. Le problème, c'est qu'on ne connaît pas le signe, mais on en déduit que c'est soit tout le temps croissant, soit tout le temps décroissant, et on remarque, à cause du moins ici, que les sens de variation des deux suites UN et VN sont opposés. Donc on en déduit que UN et VN sont monotones, l'une est croissante, l'autre est décroissante. D'autre part, qu'est-ce que je remarque, grâce à cette égalité là, on a dit que VN-UN, ou UN-VN d'ailleurs, est géométrique de raison un tiers, donc elle tend vers zéro. Donc à cela, ce que je remarque, c'est que j'ai des suites qui sont de sens de variation opposée, dont la différence tend vers zéro, et donc je sais qu'elles sont adjacentes, et donc qu'elles convergent vers une même limite commune que je vais appeler L. Grâce à ça, ça donne une première équation, mais je ne sais toujours pas ce qu'est L. D'autre part, on peut remarquer en faisant le calcul que UN plus VN plus 1 égale UN plus VN. Donc en fait, c'est-à-dire que UN plus VN est la suite constante, et donc je vais trouver tout simplement par passage à la limite, je sais que U0 plus V0 c'est égal à UN plus VN pour toute L, et donc je passe à la limite, ça fait 2L. Donc je vais trouver L qui est égal à U0 plus V0 sur 2. Donc là, l'exercice n'est pas très dur, une fois qu'on a compris les combinaisons linéaires à poser, mais la petite subtilité par rapport à avant, c'est que ça sera à vous de trouver ces combinaisons linéaires. Donc là, en essayant des combinaisons, les plus évidentes c'est quand même d'essayer UN plus VN et UN moins VN, et les deux nous donnaient des choses intéressantes. Donc voilà ce qu'on attend de vous cette année par rapport à l'année dernière.

Suites adjacentes

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