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Série harmonique
Dans ce cours, nous allons étudier un exercice basé sur la série Harmonic. La première étape consiste à montrer que la série Harmonic diverge. Ensuite, nous allons examiner à quelle vitesse la série s'écarte de ln(2n+1). Nous verrons que cette suite converge vers une réelle constante, gamma, qui est la constante d'air. Cette deuxième partie est moins classique, mais tout aussi importante.
Pour mieux comprendre la réponse à la question, nous allons utiliser une comparaison de séries intégrales. Nous encadrons l'intégrale de la fonction 1 sur x entre deux aires de rectangle.
Nous prouvons ensuite rigoureusement cette comparaison en utilisant la décroissance de la fonction 1 sur x.
Ensuite, nous démontrons que la suite harmonique converge vers plus l'infini en comparant les inégalités de gauche et de droite.
Dans la deuxième partie du cours, nous étudions les suites h et v. En étudiant leur sens de variation, nous remarquons que h est décroissante et v est décroissante. Ensuite, nous montrons que la différence entre les deux suites tend vers 0. Cela nous permet de conclure que h et v convergent vers une même limite, gamma, qui est la constante d'air.
Enfin, nous calculons la valeur de gamma, qui se situe entre 1,5 et 1, et nous déterminons à partir de quelle valeur de n la différence entre h et v devient inférieure à 10,2.
Il est essentiel de maîtriser la première partie de l'exercice sans hésitation. Cette méthode vous permettra de résoudre des exercices similaires.
