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Les fondements de la continuité

La continuité d'une fonction est définie comme étant la présence d'une limite finie en un point, qui est également la valeur de la fonction à ce point. Si pour un couloir horizontal donné, il est possible de trouver un couloir vertical dans lequel toutes les valeurs de la fonction se trouvent également dans le couloir horizontal, alors la fonction est continue. Par exemple, si le couloir orange est suffisamment réduit, toutes les valeurs de la fonction se trouvent dans ce couloir, ce qui signifie que la fonction se rapproche infiniment du point au milieu.

Cependant, il existe également des discontinuités dans les fonctions. La première est la discontinuité par non-existence du point, ce qui signifie que le point n'est pas défini. Par exemple, la fonction f(x) = 1/x n'est pas définie en zéro, ce qui rend la fonction non continue en zéro. En plus de cela, la fonction a un comportement croissant à l'infini à droite et décroissant à l'infini à gauche.

Un autre exemple de discontinuité est une fonction composée de deux paraboles, où la valeur de la fonction est zéro en zéro pour la branche de droite, mais n'est pas attribuée à la branche de gauche. Cela crée un saut dans la fonction, ce qui la rend discontinue.

Enfin, il y a des discontinuités rattrapables, où la fonction n'est pas définie en un point, mais il est possible de trouver une valeur pour ce point qui permettrait de rendre la fonction continue. Par exemple, la fonction f(x) = sin(x)/x n'est pas définie en zéro, mais si on attribue une valeur de 1,7 à ce point, la fonction peut être prolongée de manière continue.

En somme, la continuité d'une fonction se base sur la présence d'une limite finie en un point, tandis que les discontinuités peuvent être dues à la non-définition d'un point, à des sauts ou peuvent être rattrapables en attribuant une valeur spécifique au point.

Petite vidéo pour illustrer ce que peuvent être des discontinuités. Je commence avec un graphe de continuité. On avait dit que la continuité, c'était quand il y avait une limite finie en un point, et que la limite finie en ce point était la valeur de la fonction. Ce que j'expliquais, c'est que pour un couloir fixé de la taille qu'on veut, de taille orange ici par exemple, un couloir horizontal, si je peux trouver un couloir vertical tel que toutes les valeurs de la fonction dans ce couloir arrivent dans le couloir orange, alors c'est bon. Ici, c'est mort pour ce couloir bleu parce que j'ai des valeurs extérieures, mais ce n'est pas grave parce que j'ai le droit de prendre le couloir bleu que je peux. L'important, c'est de pouvoir en trouver. Donc, si je vais prendre un couloir assez petit comme ça, je me rends compte que j'ai bien toutes les valeurs de la fonction qui sont dans ce couloir. Donc en gros, ça veut dire que si je réduis le couloir orange, je vais pouvoir me rapprocher infiniment du point au milieu. Donc ça, c'est un exemple de continuité. Prenons un premier exemple de discontinuité qui va être assez simple. Ça va être la discontinuité par non-existence du point, par non-définition. Donc par exemple, si je prends 1 sur x comme ça, en fait, en zéro, le point n'est même pas défini. C'est-à-dire que je ne peux même pas me poser la question de est-ce que la fonction est continue ? Non, la fonction n'est pas continue en zéro car la fonction n'est même pas définie en zéro. Elle n'est pas définie en zéro et on a en plus à droite un comportement qui tend vers plus infini, donc une branche qui monte très haut et à gauche une branche qui monte très bas. Donc ça, c'est un type de discontinuité assez intuitif, je lève le stylo en effet. C'est une discontinuité qui est basée sur une impossibilité de définition. Donc assez simple. Ce qui peut être intéressant ensuite, c'est un exemple un peu plus percutant du genre celui-là. C'est une fonction que je définis, alors c'est assez particulier. C'est une fonction que je définis comme ceci. D'abord, une parabole à gauche qui vient, une sorte de parabole, je ne sais pas, c'est genre 1-x2, un truc comme ça, qui va vers le bas, qui fait la tête, et que je continue ensuite avec une parabole ici. Donc si je prends ce point et je le déplace, vous voyez qu'ici, en zéro, pouf ! La valeur de zéro, c'est zéro, c'est-à-dire que la valeur de zéro est attribuée à la branche de droite. Je n'ai pas de valeur attribuée à gauche, c'est-à-dire que là on vient s'approcher infiniment et hop, on saute ici. Donc comme il y a un saut, je dois changer, enfin je dois prendre mon stylo et donc lever la main. Et l'idée, c'est qu'ici, quoi que je fasse, je ne pourrai jamais trouver un couloir bleu tel que toutes les valeurs de la fonction sont dans le couloir orange, tout simplement parce qu'autour de ce point, il y a des valeurs qui ne sont déjà même pas dans le couloir orange quand je le prends de cette taille-là. Donc si vous voulez, on peut le tracer, si je prends ça. Ben voilà, je peux faire un peu ce que je veux ici. Je peux faire ce que j'ai envie, même si à droite, en effet, ici, c'est vrai que je vais pouvoir avoir... Je peux trouver un couloir assez petit pour que toutes les valeurs tombent dans le couloir orange. Par exemple comme ça. À gauche, ça ne sera jamais le cas. C'est donc une discontinuité, donc ça se voyait. Mais voilà un exemple. On voit bien que la définition fonctionne, parce que quand c'est discontinu, on ne peut pas faire ce que la définition demanderait. Un dernier exemple, c'est un exemple où il y a un saut, mais rattrapable. Par exemple, j'ai pris une fonction, si je peux effacer ça, qui s'appelle sinusX sur X. SinusX sur X, comment je vais définir ? Pour l'instant, je vais virer le truc orange. SinusX sur X, c'est assez simple, elle n'est pas définie en zéro. C'est-à-dire qu'en fait, la fonction, si je dézoome un peu, c'est un espèce de sinus, vous voyez, qui se comprime avec le temps. Il est divisé par X, donc quand X devient très gros, ça s'écrase. SinusX sur X n'est pas définie en zéro, c'est-à-dire que quand on arrive proche d'ici, il y a deux branches. Il y a une branche jusqu'ici, à gauche, et puis une branche qui reprenche juste après zéro, et qui part comme ça. On a l'impression que quand même, c'est vrai qu'en zéro, ce n'est pas défini, parce que sinon, je devrais écrire sinus zéro divisé par zéro, et diviser par zéro, c'est interdit. Mais on se dit qu'un point ici, ça serait quand même pas mal venu. Là, j'ai défini une fonction, si vous voulez, où j'ai dit, pour X négatif strict, SinusX sur X, pour X positif strict là-haut, SinusX sur X, et pour X égal à zéro, j'ai décidé de mettre un point, et j'ai mis 1,7. En fait, j'ai mis un point fixe, un point mobile comme ça. Je peux choisir d'ajouter à la définition de la fonction qui était pour l'instant définie sur R étoile, SinusX sur X. Je peux dire, c'est SinusX sur X sur R étoile, mais en zéro, je mets une valeur. C'est discontinu. En effet, si je trace comme d'hab, ces trucs-là, je peux faire ce que je veux, mais je n'ai jamais trouvé de valeur autour de ce point qui fonctionne. C'est discontinu parce que le point est complètement à côté de la courbe. Mais quand j'appelle ça un point rattrapable, c'est-à-dire que c'est une fonction qu'on va appeler prolongeable par continuité, ça veut dire qu'il est possible de prendre une valeur de ce point qui va marcher. Là, la valeur est tout indiquée. Je vois que SinusX sur X arrive par ici à gauche, il arrive par ici à droite. La valeur du point qui va marcher, c'est celle qui est pile-poil ici, si vous voulez. Donc c'est ce point-là. C'est le point C égal, je l'ai appelé ici, ce petit point. C'est le point de continuité pour lequel la valeur vaut 1, en 0. Donc il existe un point où la fonction vient continuer. Ça, c'est un exemple sympa. On appelle une fonction prolongeable par continuité.

Discontinuités : exemples

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Déf formelle

Fonctions usuelles