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Les fondements de la continuité

Ce cours traite de la continuité des fonctions visuelles. Il explique que la plupart des fonctions visuelles rencontrées depuis le lycée sont continues, y compris les fonctions x puissance n, 1 sur x, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sinus et cosinus, ainsi que toutes les fonctions construites à partir de combinaisons de celles-ci. Les fonctions non continues sont généralement des fonctions construites par morceaux et par branches. Le cours rappelle également les différents types de discontinuité, tels que la discontinuité par définition, les sauts de discontinuité, les discontinuités prolongeables et les discontinuités en un point mal placé non-prolongeables. Il souligne également que l'ensemble de définition, l'ensemble de continuité et l'ensemble de dérivabilité ne sont pas nécessairement les mêmes pour une fonction donnée. Par exemple, la fonction valeur absolue de x est définie sur R, continue sur R mais non dérivable sur R. Cependant, elle est dérivable sur R étoile. Le cours se termine en encourageant les questions dans le forum et annonce une prochaine vidéo.

Une vidéo assez directe sur la continuité, les fonctions visuelles, donc tout ce qu'il faut savoir. Il y a toutes les fonctions visuelles que vous avez déjà rencontrées depuis le lycée, la 3e, je ne sais pas, qui sont continues, en gros, quasiment. Les fonctions x puissance n sont continues sur leur intervalle de définition, bien sûr. 1 sur x est continue sur son intervalle de définition, donc elle n'est pas continue en 0 mais elle n'est pas définie en 0, donc sur son intervalle elle est continue. La fonction racine carrée est continue sur 0 plus l'infini, la fonction valeur absolue est continue, elle a un coin bizarre mais on n'enlève pas le stylo, la fonction exponentielle est continue, sinus, cosinus sont continues, et toutes les fonctions construites à partir de combinaisons des précédentes, à partir de compositions, de divisions, multiplications, tout ce que vous voulez, à partir de produits, etc., seront continues sur l'ensemble de définitions appropriées. Voilà, donc c'est très simple, c'est assez cool. Celles qui ne sont pas continues, principalement, que vous allez voir dans des exos, c'est celles qui sont construites un peu par morceaux et par branches, comme j'ai vu dans la vidéo précédente. On peut les construire, genre une parabole comme ça, une parabole comme ça, volontairement non-continues, ce sera la majorité des cas de discontinuité que vous croiserez. La deuxième remarque qui est importante de faire, c'est le rappel des différents types de discontinuité. Donc il y a la discontinuité par définition, comme 1 sur x, ce n'est pas continue en 0 mais c'est tout simplement pas définie en 0 donc non-continue en 0. Il y a des sauts de discontinuité, il y a des discontinuités prolongeables, et des fois, discontinuités en un point mal placé non-prolongeables. Celles que vous avez rencontrées depuis toujours, c'est principalement des fonctions continues ou bien des discontinuités type 1. Très bien, ce que je disais. Donc l'ensemble de définition, ce n'est pas égal à l'ensemble de continuité, ce n'est pas égal non plus à l'ensemble de dérivabilité. Ce n'est pas simple, mais on va voir quelques exemples. Je vais vous montrer ça peut-être dans la vidéo d'après, ça sera assez important de comprendre ça. Il y a l'ensemble de définition, l'ensemble de continuité, l'ensemble de dérivation, les trois sont de plus en plus précis. Par exemple, la fonction valeur absolue de x est définie sur R, elle est continue sur R, mais elle n'est pas dérivable sur R. Elle est dérivable sur R étoile. Donc retenez bien ça sur les fonctions usuelles, c'était assez simple, assez court. N'hésitez pas à poser des questions dans le forum encore une fois et je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

Fonctions usuelles

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