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Méthodes avancées sur la continuité en un point

Dans ce cours, Paul aborde la fonction f de R dans R, qui est définie comme suit : f(x) = 1 si x est rationnel, et f(x) = 0 si x n'est pas rationnel. Cette fonction est appelée la fonction indicatrice des rationnels.

Pour démontrer que f est discontinue en tout point, Paul explique qu'il suffit de visualiser la fonction. Comme les rationnels sont présents partout dans R, on peut imaginer deux droites qui se croisent en chaque point. Cependant, les points sont si proches les uns des autres qu'ils semblent alignés, donnant une impression de continuité. Cependant, la fonction alterne constamment entre 0 et 1 à chaque changement de rationnel à irrationnel, ce qui montre qu'elle n'est pas continue.

Paul montre ensuite comment prouver la discontinuité de f en utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité. Il explique qu'il suffit de trouver une suite de réels qui converge vers un point a donné, mais dont les images par f ne convergent pas vers f(a). En utilisant la densité de Q (les rationnels) dans R, Paul démontre que f est discontinue en a, que a soit un rationnel ou un irrationnel.

Il conclut en précisant que cette fonction, qui est simple mais discontinue en tout point, est souvent utilisée comme un contre-exemple dans l'étude de la continuité. Elle est notée qui-q ou un-q, et est appelée l'indicatrice des irrationnels.

C'est ainsi que se termine ce cours, avec une invitation à la prochaine fois.

Salut c'est Paul pour un nouvel exercice sur la continuité et ici on va parler de la fonction f de R dans R qui est défini par 1 si x, enfin f de x est égal à 1 si x est rationnel et 0 si x n'est pas rationnel donc en fait c'est une fonction qui est la fonction indicatrice des rationnels et faut montrer que f est discontinue en tout point donc déjà pour s'en convaincre on va un peu voir comment on pourrait tracer f en fait En fait vu qu'il y a les rationnels partout c'est la densité de Q dans R, il y en a partout, du coup enfin comme ça la main comme ça en fait on pourrait dessiner deux droites comme ça et en fait en fait en chaque point ici là il y a des points ici ici ici mais tellement rapprochés qu'en fait nous ça nous apparaît de droite donc en fait on voit bien que cette fonction elle est quand même très bizarre et elle n'est pas continue parce qu'elle est constamment en train de d'alterner entre 0 et 1 à chaque fois que cela change de rationnel à irrationnel donc Q est dense dans R en fait donc comment on va montrer ça, en fait Q est dense dans R et là en fait l'astuce c'est de penser à la caractérisation séquentielle de la densité, on pense à caractérisation séquentielle de la densité parce que la densité c'est pas souvent c'est c'est pas très sympa à manipuler comme comme propriété et donc en grande règle générale quand on a des choses qui sont denses on utilise la densité ce sera vrai pour le reste de l'année pour d'autres choses, vous verrez la densité de manière, enfin dans un autre point de vue et donc pour passer facilement à la continuité ou à la discontinuité on va utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité et notamment en fait la négation de la caractérisation séquentielle de la continuité et donc après on va essayer de prouver que la fonction est discontinue comme ça donc un peu les étapes comme ça qu'on va prendre C'est parti, donc on prend un a dans R, on va montrer qu'elle est en tout point, donc on prend un point quelconque et on va montrer que la fonction est discontinue parce que en tout point ça veut dire que la continuité c'est une propriété ou la discontinuité c'est une propriété locale donc qui se fait point par point donc on prend un point particulier donc f est discontinue en a, donc là on marque au brouillon ce qu'on veut prouver, f est discontinue en a ça veut dire qu'il existe une suite, donc avec la caractérisation séquentielle, il existe une suite de réel telle que un tend vers a converge vers a et f de un ne converge pas vers f de a donc soit elle ne converge pas du tout, elle n'a pas de limite ou va plus à l'infini ou elle ne converge pas vers f de a, voilà, ou elle a une limite et la limite n'est pas f de a donc on va prouver ça Comment ? En fait l'existence d'une suite c'est exactement la définition de la de la densité dans R, donc si a, ici, donc on a deux cas, si a appartient à R privé de q donc si a n'est pas été irrationnel, alors on a que q est dense dans R et a appartient à R, ok ? donc Donc il existe une suite un, ici uniquement dans q, telle que la limite de un c'est a, donc qui une suite de réel qui tend vers qn Or, quel que soit n appartenant à n f de un égale à 1, car un appartient à q par définition Donc limite de un, f de un égale à 1 et cette limite est différente de 0, et 0 c'est égal à f de a, pourquoi ? Parce que a est irrationnel, par définition de f donc f est discontinue en a, parce que limite de parce que La suite un tend vers a, et la limite de la suite f de un ne tend pas vers f de a Donc on a bien la discontinuité de f en a, maintenant on traite le cas a appartient à q, donc q, a est irrationnel et là en fait on va utiliser le fait que voilà R privé de q, donc les irrationnels sont aussi denses dans R Donc on prouve de la même manière en intervertissant q et R privé de q, on prouve que f est discontinue en a, ainsi f est discontinue en tout point de R alors cette fonction elle est pratique parce qu'il n'y a pas beaucoup de fonctions qui sont disponibles, il y a une infinité, mais des fonctions simples comme ça faciles à sortir, il n'y en a pas beaucoup et c'est une fonction simple qui est discontinue en tout point de R, et elle sert du coup pour des contre-exemples, donc c'est l'indicatrice des irrationnels, et elle sert souvent de contre-exemples, et donc souvent on ne la note pas f bien sûr on la note qui-q, donc la lettre grecque qui qui-q ou un-q, donc l'indicatrice des irrationnels ou qui-q. Donc si vous l'avez noté comme ça c'est normal et elle sert souvent dans les contre-exemples sur la continuité. Donc c'est la fin de cet exercice et on se dit à une prochaine fois

Indicatrice de Q

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