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Équation fonctionnelle
Dans cet exercice sur les fonctions continues, on cherche à résoudre une équation fonctionnelle. On souhaite trouver des fonctions f de R dans R qui vérifient f(x + y) = f(x) + f(y). Les fonctions linéaires, c'est-à-dire les fonctions f(x) = x, sont une réponse évidente. On peut également les décrire comme f(x) = f(1) * x. Cette dernière formulation peut être utile pour simplifier l'équation.
On commence par remarquer que f(0) est égal à f(0), ce qui est facile à prouver et peut être utile. En généralisant, on peut montrer que f(nx) = nf(x) pour tout entier n. La preuve se fait par récurrence. On utilise ensuite la continuité et la densité des rationnels dans les réels pour étendre cette propriété aux rationnels.
Plus précisément, on montre que pour tout x dans R et tout rationnel r = p/q, f(r * x) = r * f(x). On utilise alors la densité des rationnels et la continuité de f pour prouver que cette propriété s'étend à tous les réels.
Ainsi, on démontre que si une fonction satisfait cette équation fonctionnelle, alors elle appartient à l'ensemble des fonctions linéaires, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions de la forme f(x) = k * x.
En conclusion, on a résolu l'équation fonctionnelle en trouvant toutes les fonctions continues f de R dans R qui vérifient f(x + y) = f(x) + f(y).
