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Analyse

Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Dans cet exercice, nous étudions le tableau de variation d'une fonction polynomiale G dont la dérivée est G'(x) = 6x² - 6x. Nous dressons le tableau en calculant les limites et en cherchant les extrêmes locaux de G.

Ensuite, nous devons montrer qu'il existe une solution alpha telle que G(alpha) = 0, avec alpha étant encadré entre -1 et 10^-1. Nous utilisons le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu'il existe une unique solution alpha sur l'intervalle (1, +∞). Nous pouvons également encadrer alpha à l'aide d'une calculatrice.

Nous déterminons ensuite le signe de G(x) pour tout x réel en utilisant le tableau de variation précédent. Ainsi, pour tout x appartenant à (-∞, alpha), G(x) est strictement inférieur ou égal à 0, et pour tout x appartenant à (alpha, +∞), G(x) est supérieur ou égal à 0.

Enfin, nous étudions la fonction f définie par f(x) = (1-x)/(x³ + 1) et nous calculons f'(x) en exprimant cette dérivée en fonction de G(x). Nous remarquons que le numérateur de f'(x) correspond à G(x), ce qui nous permet de déduire le signe de f'(x). Nous concluons que f est décroissante sur (-1, alpha) et croissante sur (alpha, +∞).

C'est ainsi que se termine cet exercice sur l'analyse de fonctions. Rendez-vous la prochaine fois !

Salut c'est Paul pour un exercice un peu sur les fonctions, l'analyse de fonctions pour être plus précis. C'est un exercice un peu de type fin de terminale mais du coup ça veut dire qu'en prépa en fait la compétence qu'on va rechercher c'est la vitesse sur ce type d'exercice. Votre cerveau doit être en autopilote et aller très très vite. Donc on a G, un polynôme ici et on va dresser le tableau de variation de G d'abord. Donc G est dériviable, polynomiale sur R, et G prime de X est égal à 6 carrés moins 6 X. C'est un polynôme mais on peut le factoriser donc on ne calcule pas son déterminant. On a ses deux racines et donc on a son signe. Et on peut dresser le tableau de variation de G en n'oubliant pas de calculer les limites. Donc les limites ici c'est plus infiniment l'infini parce qu'on a à faire un polynôme d'ordre 3. Voilà et On calcule bien les extrêmes locales. Donc la question 2 maintenant. Donc on va montrer que l'équation G de X égal à 0 avec X appartenant à R met une solution alpha et donne un encadrement alpha à 10 moins 1 près. Donc là en fait on va d'abord remarquer que ici G sur moins l'infini 1 est strictement inférieur égal à 0. Donc l'équation qu'on cherche n'a pas de solution sur cet intervalle. Mais de plus voilà maintenant on travaille sur cet intervalle. Là elle est strictement croissante. Donc ça va être le corollaire du théorème du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires qui garantit l'unité de la solution G de X égal à 0 uniquement si on a des valeurs qui encadrent 0. Ici donc une limite en plus l'infini qui est égale à plus l'infini et G de 1 qui est égale à moins 2. G est continu sur l'intervalle donc sur R ça garantit la continuité sur l'intervalle et la stricte croissance pour le corollaire. Et donc d'après le corollaire du TVI, le théorème des valeurs intermédiaires, G de X égal à 0 possède une unique solution alpha sur 1 plus l'infini. Donc G de X égal à 0 possède une unique solution alpha. A la calculatrice maintenant on peut encadrer alpha. Voilà ça vous savez faire. Donc déterminer le signe de G de X sur R maintenant en fait directement d'après le tableau de variation. Voilà maintenant on a alpha ici avec 0 alpha donc ici G est négative, ici G est positive. Donc d'après le tableau de variation et la question précédente, on a que quel que soit X appartenant à moins l'infini alpha G de X strictement inférieure égale à 0 et quel que soit X appartenant à alpha inclus plus l'infini G de X est supérieure égale à 0. Maintenant on a la fonction f définie par 1 moins X sur X3 plus 1 et on va calculer f prime et exprimer l'expression en fonction de G. On a eu le dénominateur qui est dérivable et différente 0 sur moins 1 plus l'infini, le numérateur est dérivable sur l'intervalle considéré et f égale à U sur V, donc elle est dérivable sur moins 1 plus l'infini et donc f prime on a la formule qu'on connaît bien et on calcule f prime et là on remarque qu'on ne développe jamais le dénominateur, il est positif et nous ce qui nous intéresse c'est le signe, donc on étudie toujours le signe uniquement du numérateur et là en fait on remarque que le numérateur c'est G de X justement et donc on connaît le signe de G de X donc en déduisant le signe de f prime de X et donc en déduisant le signe de f prime de X, on remarque que f prime est du même signe que G ainsi donc voilà c'est le signe de f prime, on a répondu à la question 3 sur le signe de G, ainsi f est décroissante sur moins 1 alpha et croissante sur alpha plus l'infini donc déduire le signe de f prime et les variations de f sur moins 1 plus l'infini Voilà on a les variations de f et c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois

Variations et théorème des valeurs intermédiaires

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