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Analyse

Continuité sur un segment, TVI et bijection réciproque

Dans cet exercice, nous cherchons à prouver que la fonction F est continue et a un point fixe sur le segment AB. Pour prouver cela, nous représentons graphiquement F dans un carré délimité par les valeurs d'A et B. Nous montrons que même en essayant d'éviter la droite identité, le graphique de F finit par l'intersecter à certains points. Ensuite, nous introduisons la fonction G(X) = F(X) - X, qui nous permet de ramener le problème à trouver une solution à l'équation G(X) = 0. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous démontrons que l'équation G(X) = 0 a au moins une solution sur le segment AB, ce qui signifie que F(X) = X a également au moins une solution sur ce segment. Ainsi, nous prouvons l'existence d'un point fixe pour F.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour un exercice sur la continuité sur un segment de F. Ici on va prouver que F est continue sur un segment AB, à valeur dans AB, et si on a ces conditions, on va montrer que F a un point fixe. Donc ça vaut le coup de faire un petit schéma pour expliquer. Donc on va prendre les abscisses et les ordonnées, et donc F est continue sur AB, donc ici, et à valeur dans AB. Donc F, ce que ça veut dire, c'est que F va être dans ce carré ici, donc F va être compris entre A et B. Les valeurs de F vont être comprises entre A et B. Et on va montrer que F a un point fixe. F a un point fixe, ça veut aussi dire, donc F de X égale à X, donc ça veut dire que F de X croise la droite identité, donc que F de X moins X égale à 0. Et en fait, maintenant on va tracer un peu des idées de F pour voir si on peut éviter la droite. Donc le graph de F ici, si on essaie de l'éviter par en haut, forcément on va le toucher ici, parce que ici B est fermé, donc on va l'atteindre. A, pareil, là on va toucher là, et si on passe au milieu, évidemment. Et on peut même le toucher plusieurs fois, si on veut. Donc on va prouver l'existence de ce point fixe. Maintenant, comme j'ai dit, avoir un point fixe, c'est aussi dire qu'on croise l'identité. Donc en fait, on va poser la fonction G de X égale à F de X moins X. Ça va permettre de ramener le problème en 0, donc le problème c'est de trouver, est-ce que la solution F de X égale à X a une solution ? Là on va ramener le problème en 0, en essayant de prouver est-ce que l'équation G de X égale à 0 a-t-elle une solution ? Donc comme F est continue sur A, B, G l'est aussi. Et on a que G de A c'est égal à F de A moins A, donc F de A moins A, F de A est forcément supérieur à A, parce que F est à valeur dans A, B. Donc F est forcément ici supérieur à A, donc F de A est supérieur ou égal à A. Et pareil pour F de B, sauf que G de B est inférieur ou égal à 0, parce que F de B est forcément inférieur à B. Donc d'après le théorème des valences intermédiaires, donc continue et on a deux valeurs de part et d'autre de 0, G de X égale à 0 a-t-elle au moins une solution sur A, B ? Donc F de X égale à X a-t-elle au moins une solution sur A, B ? Et F a au moins un point fixe. C'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois !

Point fixe et continuité

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