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Fonction bornée
Dans cet exercice, nous étudions les fonctions continues sur un intervalle. La fonction f est définie sur R par f(x) égale à un polynôme de degrés pairs et une exponentielle de moins x carré. L'objectif est de démontrer que la fonction est bornée sur R.
Pour y parvenir, nous devons déterminer les limites de f à l'infini et moins l'infini. En utilisant les règles de calcul avec les limites, nous trouvons que la limite du polynôme est c plus l'infini et la limite de l'exponentielle est c0 plus l'infini. Les limites sont les mêmes à moins l'infini.
Selon les croissances comparées, l'exponentielle l'emporte toujours, donc les limites l'emportent sur le polynôme. Par conséquent, les limites en plus l'infini et moins l'infini de f sont 0.
Ensuite, nous démontrons qu'il existe un réel a strictement supérieur à 0 tel que pour tout x supérieur ou égal à a, la valeur absolue de f(2x) est inférieure ou égale à 1. Cela correspond à la définition de la limite lorsque ε reçoit 1.
De manière similaire, nous démontrons qu'il existe un réel b strictement inférieur ou égal à 0 tel que pour tout x inférieur ou égal à b, la valeur absolue de f(2x) est inférieure ou égale à 1. Cette fois-ci, nous utilisons la définition de la limite en moins l'infini.
En utilisant les résultats des questions précédentes, nous remarquons que la fonction f est bornée à chaque fois sur les intervalles moins l'infini à b et a à plus l'infini. Puisque f est également continue sur l'intervalle ab, nous pouvons appliquer le théorème des bornes atteintes, ce qui signifie que f est bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes. Par conséquent, f est bornée sur R tout entier.
Voilà, c'est la fin de cet exercice sur les fonctions continues sur un intervalle. À la prochaine fois !
