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Analyse

Dérivation et composition : rappels

Ce cours porte sur la détermination des équations de tangentes, une méthode classique en mathématiques. Il est important de bien maîtriser cette méthode car elle est souvent utilisée dans les exercices d'étude de fonctions pour analyser les tangentes et la position relative de la courbe par rapport à ces tangentes. Dans cet exercice, on nous demande d'étudier une fonction f(x) = x^2 + 3x + 1 et de calculer f'(2) et f(2). Après calcul, on trouve que f(2) = 11 et f'(2) = 7. En utilisant la formule y = f'(A)x + f(A) (A ici étant égal à 2), on trouve l'équation de la tangente : y = 7x + 3. 

Il est intéressant de comprendre d'où vient cette formule. Pour cela, on peut réexprimer une équation de droite y = mx + p en utilisant les coordonnées du point de tangence A (qui ici est 2, f(2)) et la pente de la tangente (qui est égale à la dérivée de f en A). On obtient ainsi l'équation y = f'(A)x + (f(A)-Af'(A)). Finalement, nous devons étudier une autre question concernant la fonction g(x) = e^x et l'équation de sa tangente en un point donné (ici le point (0,1)). Après calcul, on trouve l'équation de la tangente : y = x + 1.

En résumé, ce cours nous a permis d'apprendre la méthode de détermination des équations de tangentes, une compétence essentielle dans l'étude des fonctions.

Petite méthode sur les déterminations d'équations de tangente qui est quelque chose d'assez classique, il faut savoir bien maîtriser, parce que dans n'importe quel exercice vous aurez une étude de fonction à réaliser, très souvent il y aura étude des tangentes et position relative de la courbe par rapport à la tangente. On ne va pas étudier ce dernier point dans cet exercice mais souvent c'est ce schéma là qui est suivi, donc à savoir bien maîtriser. Alors très bien, on nous propose une fonction f à étudier, x au carré plus 3 x plus 1, et on va nous faire étudier une tangente. Donc on nous demande d'étudier, de calculer f prime de 2 et f de 2. Bon, ça n'a rien de très compliqué, on calcule f de 2, moi je trouve que ça fait 11. On le justifie bien, c'est pas parce que c'est une méthode facile qu'on fait mal les choses, on justifie bien l'ensemble de dérivabilité, je dis que f est dérivable sur R, parce que c'est un polynome, et f prime de x ça fait 2 x plus 3, donc tout x appartenant à R, et f prime de 2 en faisant le calcul je vois que ça fait 7. Donc on va pouvoir en déduire l'équation de la tangente, donc la formule que je connais par coeur y égale f prime de A plus f de A, ici A vaut 2, donc voilà pourquoi on a fait calculer f prime de 2 et f de 2, et je trouve donc que l'équation de la tangente en simplifiant ça fait y égale 7 x plus 3. Je me permets ici de faire un petit retour sur cette formule un peu magique, f prime de A fois x moins A plus f de A, on l'apprend toujours par coeur, souvent les élèves ne savent pas d'où ça vient en vrai, alors que la formule finalement est assez simple. Qu'est ce qu'il se passe ? Je vais redémontrer cette formule, je pense que c'est toujours bien de savoir d'où ça vient, donc on a une équation de droite, une équation de droite c'est de la forme y égale mx plus p, toujours, donc ce qu'il faut c'est juste trouver le m et le p, le m qui est la coefficient de directeur et p l'ordonnée à l'origine. Ce qui est bien c'est que je sais que la définition de la tangente au point A, je sais par où elle passe, elle va passer par ce point que j'ai appelé grand A, qui est de coordonnée petit a f de A, et je connais de sa pente aussi, sa pente c'est celle de la dérivée au point A de f prime de A, donc déjà ça c'est gagné, m je sais que c'est la coefficient de directeur ou la pente c'est la même chose, donc je sais que m égale f prime de A, donc finalement il ne reste plus qu'à trouver p. Comment on peut faire pour trouver p ? On sait que la tangente passe par le point de tangence, justement ce point que j'ai appelé grand A, donc ça veut dire que ce point là vérifie les coordonnées de la droite, pardon, les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite, donc pour x égale A, ça veut dire que y doit être égal à f de A dans mon équation de droite, je le remplace, donc là c'est mon y et là c'est mon x de mx plus p, donc pour x égale A je sais que y est égal à f de A, donc je le remplace, moi ce que je cherche c'est de trouver p, donc p je le déduis ça vaut f de A moins af prime de A, donc c'est bon maintenant je connais tout le monde, je connais m et je connais p, donc je peux déduire l'équation de la droite, j'ai y égale f prime de A fois x plus mon p qui est égal à f de A moins af prime de A, et en fait là je factorise simplement par f prime de A ce qui est factorisable et je me retrouve avec f prime de A fois x plus f de A, donc voilà d'où vient la formule, donc ça c'est bien de toujours se souvenir que ça vient de cela. Deuxième partie, on nous demande d'étudier une nouvelle question, g de x égale e de x et on veut l'équation de la tangente à la courbe cg au point tapis 0, donc g de x c'est l'exponentiel, g prime de x c'est toujours l'exponentiel, bon là j'ai pas été très explicite mais évidemment dérivable sur R, donc j'ai appliqué la formule, y égale en 0, donc on veut l'équation de la tangente au point tapis 0, donc g prime de 0 fois x moins 0 plus, alors la petite erreur, c'est pas f évidemment, c'est un g, plus g de 0 et donc ça fait x plus 1, donc ça en fait d'ailleurs c'est la tangente la plus connue de l'exponentiel, la tangente en 0 qui vaut, dont l'équation est y égale x plus 1. Donc voilà pour cette méthode sur la détermination de l'équation de la tangente, donc à savoir parfaitement maîtriser parce que ça tombe à tous les coups sur une étude de fonction. Sous-titres réalisés par la communauté d'Amara.org

Équation Tangente

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