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Polynômes 2nd Degré
Dans ce cours, nous étudions la méthode d'étude d'un polynôme de degré 2 de manière plus rapide que la méthode traditionnelle. Nous prenons comme exemple le polynôme 2x²-8x±. Nous commençons par justifier l'ensemble de dérivabilité de la fonction f, puis nous calculons sa dérivée qui est 4x-8. Pour étudier le signe de la dérivée, nous factorisons par 4 et remarquons que le signe change en x=2. Ainsi, f'x est positif lorsque x est supérieur à 2 et négatif lorsque x est inférieur à 2. En utilisant ces informations, nous pouvons établir le tableau de variation de la fonction. Nous calculons ensuite l'image de l'extrémum qui est un minimum en x=2, où f'2=7.
Pour aller plus vite, nous utilisons une astuce basée sur les connaissances générales des polynômes de degré 2. Nous savons que ces polynômes s'écrivent sous la forme ax²+bx+c et que l'extrémum est atteint en -b/2a. En observant le signe de a, nous pouvons déterminer si l'extrémum est un minimum ou un maximum. Dans notre exemple, a étant positif, nous savons que l'extrémum est un minimum. Ainsi, sans avoir à dériver, nous pouvons conclure que la fonction est d'abord décroissante, puis croissante, et que les coordonnées du minimum sont -b/2a=2, confirmant notre résultat précédent.
Nous pouvons également utiliser ces résultats pour déterminer le signe de la fonction. Nous utilisons les coordonnées de l'extrémum (-b/2a) ou l'expression -Δ/4a pour calculer l'ordonnée. De plus, nous connaissons les racines du polynôme (-b+√Δ/2a et -b-√Δ/2a). Ainsi, nous observons que le minimum est situé au centre et que les racines sont symétriquement éloignées du centre.
Cette astuce nous permet de rapidement déduire le sens de variation et le signe de la fonction lorsque nous rencontrons un polynôme de degré 2. Pour plus d'informations, nous pouvons consulter la FAQ.
