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Analyse

Dérivabilité, C1 et monotonie

Dans cet exercice, nous avons deux fonctions, f(x) et g(x), et nous devons déterminer si elles sont dérivables ou continûment dérivables.

Pour la fonction f(x), nous avons montré qu'elle est continue et dérivable sur R* (l'ensemble des réels non nuls). Ensuite, nous avons prouvé que f(x) est dérivable en 0 en utilisant la définition du nombre dérivé. Nous avons conclu que le taux d'accroissement de f tend vers 0 lorsque h tend vers 0, ce qui signifie que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0.

Ensuite, nous avons examiné si f'(x) est continue en 0. Nous avons remarqué que pour tout x dans R*, f'(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). En utilisant le rappel que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si pour toute suite un tendant vers a, f(un) tend vers l, nous avons posé un = 1/(2πn) pour tout n dans N. Nous avons montré que un tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini et que f'(un) = -1 pour tout n dans N, ce qui est différent de 0. Par conséquent, nous avons conclu que f est dérivable sur R mais pas continue, ce qui signifie qu'elle n'est pas C1 (continûment dérivable) sur R.

Pour la fonction g(x), nous avons montré de la même manière que précédemment qu'elle est C1 sur R* et dérivable en 0. Ensuite, nous avons montré que g'(x) est continue en 0 en calculant sa dérivée g'(x) = 3x² sin(1/x) - x cos(1/x). En utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que sin(1/x) et cos(1/x) sont inférieurs ou égaux à 1, nous avons montré que g'(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0, ce qui est égal à g'(0). Par conséquent, nous avons conclu que g est C1 sur R.

Résumé SEO friendly: Dans cet exercice, nous avons analysé les fonctions f(x) et g(x) pour déterminer leur dérivabilité et leur continuité. Nous avons montré que f(x) est dérivable en 0 mais pas continue sur R, tandis que g(x) est dérivable en 0 et continue sur R.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui va vraiment être important, que ce soit pour la fin de votre SUP ou pour votre SPÉ. Alors cet exercice, quel est-il ? On se donne deux fonctions. Une fonction f qui a x associé x au carré fois sinus devant sur x si x est différent de 0 et 0 si x est égal à 0. Et g qui a x associé x au cube fois sinus devant sur x si x est différent de 0 et aussi 0 si x est égal à 0. Et c'est à nous de déterminer si ces fonctions sont dérivables ou c'est 1 sur r. Commençons d'emblée par notre première fonction. On remarque que f est clairement continué et dérivable sur r étoile en tant que produit de telle fonction. Montrons de plus que f est dérivable en 0 maintenant. Ce que je vous propose de faire, c'est de revenir à la définition du nombre dérivé par les taux d'accroissement. On calcule f de h moins f de 0 sur h. C'est égal à h sinus de h. Or, h sinus de h, on peut le majorer par h compte tenu du fait que sinus de h est inférieur au égal à 1 pour tout h dans r. Cette égalité, je vous encourage vraiment à la connaître et à l'appliquer parce que vous allez vraiment beaucoup la rencontrer dès qu'un exercice fait appel à des fonctions sinus ou cosinus. Or, h tend vers 0 lorsque h tend vers 0, bien entendu. On conclut que le taux d'accroissement de f tend vers 0 lorsque h tend vers 0. On conclut que f est dérivable en 0 et vérifie f' de 0 est égal à 0. Voyons à présent si f' est continu en 0. En gros, ce qu'on est en train de faire c'est de voir si f est séant sur r tout entier. On remarque que pour tout x dans r étoile, f' de x est égal à 2x sinus de 1 sur x moins cosinus de 1 sur x. Là, ce que je vous propose de faire à ce stade, c'est un rappel. Un rappel qui nous dit que f de x tend vers l lorsque x tend vers a, si et seulement si, pour toute suite un, telle que un tend vers a lorsque n tend vers plus l'infini, f de un tend vers l lorsque n tend vers plus l'infini. Posons à présent un est égal à 1 sur 2pi n pour toute n dans n, donc c'est une suite. On remarque que un tend vers 0 lorsque n tend vers plus l'infini et que f' de un est égal à 1 sur n pi fois sinus de 2pi n moins cosinus de 2pi n. Et ça, c'est égal à moins 1 pour toute n appartenant à n. Et c'est différent de 0. Conclusion, puisqu'on a exhibé une suite telle que notre suite tend vers 0 mais que la suite définie par la fonction de notre suite ne tend pas vers l, qui est ici 0, on en déduit que f est dérivable sur r mais n'est pas continue. Autrement dit, elle n'est pas c1 sur r. Attaquons-nous à présent à notre deuxième fonction qui est très ressemblante à notre première mais pour lequel cette fois-ci on multiplie par x³. On montre de la même manière qu'à la question précédente que g est c1 sur r étoile et dérivable en 0. Ce qu'il nous reste à faire à présent c'est de montrer que g' est continue en 0 et on aura montré que g est c1 sur r tout entier. Encore une fois, ce qu'on fait pour toute x dans r étoile c'est qu'on calcule la dérivée de g. On remarque que g' de x est égale à 3x² fois sinus de 1 sur x moins x cosinus de 1 sur x. De là, l'inégalité triangulaire nous permet dans un premier temps d'obtenir une première majoration de g' de x. Enfin, compte tenu du fait que sinus de 1 sur x est aussi inférieur ou égal à 1 et de même pour le cosinus, on peut majorer. On remarque que ça tend vers 0 lorsque x tend vers 0. D'où g' de x tend vers 0 lorsque x tend vers 0 mais on remarque que c'est égal à g' de 0. Conclusion, g est bien c1 sur r.

Fonction C1

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