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Analyse

Dérivabilité, C1 et monotonie

Bonjour à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous avons un exercice qui demande beaucoup de calculs et de concentration. L'énoncé demande de dériver la fonction f(x) = x^2 * ln(1+x) n fois. Nous remarquons qu'il s'agit du produit de deux fonctions, ce qui nous amène à la formule de Leibniz. Selon cette formule, la dérivée n-ième de f est égale à la somme des produits de g dérivée k fois et de h dérivée n-k fois, pour k allant de 0 à n.

En identifiant nos fonctions g(x) = ln(1+x) et h(x) = x^2, nous pouvons trouver les dérivées successives. Après quelques calculs, nous obtenons que g'(x) = 1+x, g''(x) = -1/(1+x)^2, et pour tout k supérieur ou égal à 3, g^(k)(x) = 0. Quant à h(x), nous avons h'(x) = 2x et h''(x) = 2.

Maintenant, nous pouvons appliquer la formule de Leibniz en réinjectant les dérivées trouvées. La fonction f dérivée n fois est égale à une expression compliquée, mais nous pouvons la simplifier en factorisant par v(x). Nous travaillons alors avec v(x) qui est égal à 2x^2 + 2nx + n(n-1).

En développant et simplifiant v(x), nous trouvons que f^(n)(x) = 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2). Finalement, nous arrivons à une expression plus simple pour la dérivée n-ième de f(x) qui est 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2).

Cet exercice nécessite des calculs précis et de la rigueur. Cependant, il est important de noter qu'il est essentiel de simplifier les expressions et de diviser le travail en étapes. La compréhension de la formule de Leibniz, l'identification des fonctions et le domaine de définition, ainsi que la capacité à simplifier sont des compétences clés pour résoudre cet exercice.

Bonjour à tous, c'est Corentin. Alors aujourd'hui je suis souriant mais l'heure est grave puisque l'exercice que nous avons face à nous aujourd'hui va nous demander beaucoup de capacités de calcul et beaucoup de concentration. Alors j'espère que vous êtes prêts, accrochez-vous. L'énoncé de cet exercice est en apparence assez simple. On nous demande de dériver n fois la fonction f qui a x associé x au carré fois ln de 1 plus x. Deux choses doivent nous mettre à la puce à l'oreille. On nous demande de dériver n fois une fonction qui s'écrit comme le produit de deux autres fonctions. Et ça, ça doit nous rediriger immédiatement vers la formule de Leibniz que je vous rappelle aujourd'hui. Soit g et h deux fonctions cn et f qui est le produit de g par h. Alors f est aussi cn et f dérivé n fois est égale à la somme pour k allant de 0 à n de k parmi n fois g dérivé k fois fois h dérivé n moins k fois. On remarque que cette somme là en fait c'est un espèce de binôme de newton appliqué à deux fonctions. Ici on identifie nos deux fonctions. h c'est la fonction qui a x associé x au carré et g c'est la fonction qui a x associé ln de 1 plus x. Le domaine de définition du produit est donc moins 1 plus l'infini. Pour se forger une idée et pour commencer à faire nos premiers calculs doucement mais sûrement, ce que je vous propose de faire c'est de commencer par dériver une fois. On trouve que h prime est égal à 2x. On dérive une deuxième fois. On trouve que h seconde est égal à 2. Et puis on remarque que pour tout k super ou égal à 3, h dérivé k fois est égal à 0. Et là on commence à avoir un petit espoir sur le fait que ces calculs vont simplifier puisque pour k est égal à 3, h dérivé k fois est égal à 0. Pour g en revanche c'est moins cool puisque g prime de x est égal à 1 plus x. g seconde de x est égal à moins 1 divisé par 1 plus x au carré. Et g dérivé k fois 2x est égal à moins 1 puissance k moins 1 fois k moins 1 factoriel divisé par 1 plus x puissance k. Voilà on s'est forgé notre intuition, on a commencé à dériver un peu et là on peut s'attaquer à notre fameuse formule de Leibniz et réinjecter ce qu'on vient de trouver dans cette somme. On remarque alors que f dérivé n fois est égal à cette formule-là. On arrive sur cette formule assez barbare mais on va pouvoir s'en sortir en simplifiant puisqu'on remarque qu'on peut factoriser par v de x avec v de x qui vaut cette expression là qui en simplifiant encore un peu v de x et là je vous fais confiance je vous fais confiance. Moi je passe vite sur les calculs parce qu'il faut savoir calculer en prépa mais l'intérêt en fait il n'est pas là. L'intérêt il est surtout l'idée qu'il faut qu'il faut que vous ayez c'est vraiment factoriser pour avoir une expression plus simple et puis ensuite en fait c'est découper le travail. On factorise et puis ce qu'on fait maintenant c'est qu'on travaille juste sur v de x qui est ma foi compliqué mais déjà plus simple que cette formule barbare qu'on avait là. Voilà c'est ça l'idée qu'il faut que vous ayez c'est factoriser et puis après vous allez voir que les calculs ça roule tout seul. V de x voilà ce qu'on fait c'est qu'on développe ici ici aussi on développe ici aussi on développe et puis on simplifie. Enfin c'est des choses qu'on sait faire depuis la seconde. Et puis on trouve que v de x est égal à 2 fois x au carré plus 2nx plus n fois n-1. On en conclut donc que f dérivé n fois 2x est égal à 2x au carré plus 2nx plus n au carré moins n fois ce quotient là. Voilà donc cet exercice est assez compliqué dans les calculs et dans la rigueur qu'il faut que vous ayez. En revanche de manière théorique la seule difficulté qu'on rencontre c'est identifier notre besoin c'est à dire identifier qu'on a vraiment besoin de cette formule de Leibniz pour résoudre cet exercice, identifier nos deux fonctions, le domaine de définition, commencer à dériver un peu, réinjecter et puis là j'insiste vraiment l'idée qu'il faut que vous ayez vraiment quand vous faites des calculs un peu compliqués c'est simplifier. Une qualité qui n'est pas forcément une qualité en prépa mais une qualité qu'il faut avoir en calcul c'est être paresseux. C'est vraiment simplifier, se découper le travail, se mâcher le travail et puis après on s'en sort vraiment facilement.

Dérivée n-ième

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