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Tangente
Dans cet exercice, nous devons démontrer qu'il existe une unique tangente commune aux courbes d'équation y = x² et y = 1/x. Pour cela, nous procédons de la manière suivante :
1. Nous commençons par rappeler l'équation d'une tangente en un point A : f'(A) * x - A + f'(A).
2. Nous posons f(x) = x² et calculons la tangente de f en un point A, qui est égale à 2A * x - A².
3. De la même manière, nous posons h(x) = 1/x et calculons la tangente de h en un point B, qui est égale à -x/B² + 2B.
4. Pour que les tangentes coïncident, nous égalons les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine des deux tangentes.
- Nous obtenons 2A = -1/B² et -A² = 2/B.
5. Nous remarquons que A et B sont des inconnus que nous devons déterminer, contrairement aux exercices habituels où les points sont fixés.
6. En factorisant et en résolvant le système linéaire obtenu, nous trouvons A = -2 et B = -1.5.
7. En vérifiant, nous constatons que les tangentes en A = -2 et B = -1.5 coïncident.
Ainsi, nous avons démontré l'existence d'une unique tangente commune aux courbes y = x² et y = 1/x.
