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Analyse

Dérivabilité, C1 et monotonie

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice mathématique concernant une équation fonctionnelle. L'exercice consiste à démontrer qu'une équation donnée admet une unique racine, puis d'étudier le sens de variation d'une fonction et de calculer des limites.

Pour simplifier les calculs, Corentin passe à l'exponentiel logarithme et obtient une équation équivalente avec une fonction notée f(x). Il calcule certaines valeurs particulières de f, telles que f(0), et remarque qu'elle est strictement positive. Il cherche alors la limite de f lorsque x tend vers l'infini, mais ne peut pas la trouver car il ne connait pas les valeurs exactes des coefficients a (supérieurs à 0 et classés dans l'ordre croissant). Pour contourner ce problème, Corentin divise l'équation par a, ce qui lui permet d'obtenir une expression plus simple et de calculer la limite de cette nouvelle fonction qu'il appelle ftilde. Il trouve que ftilde tend vers -1 lorsque x tend vers l'infini.

Il continue ensuite en calculant la dérivée de f et remarque qu'elle est strictement négative pour tout x dans R, ce qui signifie que f est strictement décroissante. Avec les résultats précédents (f(0) > 0 et limite en l'infini < 0), on peut conclure que f admet une unique racine xA.

Pour étudier le sens de variation de la fonction qui associe A à xA, Corentin revient à la définition fondamentale de la croissance et de la décroissance d'une fonction. En comparant fA(x) et fB(x) pour A < B, il montre que fB(x) ≤ fA(x), donc xB ≥ xA. Ainsi, la fonction est décroissante.

Enfin, Corentin cherche à calculer la limite de xA lorsque A tend vers l'infini. Comme la fonction est décroissante et minorée par 0, la limite est supérieure ou égale à 0. Par raisonnement par l'absurde, il suppose que la limite est différente de 0 et obtient une contradiction. Donc la limite de xA est bien 0. Il montre également que la limite de xA ln(A) est égale à ln(P), en remplaçant dans l'équation donnée.

En résumé, cet exercice permet de démontrer l'existence et l'unicité d'une racine d'une équation fonctionnelle, d'étudier le sens de variation d'une fonction associant A à cette racine, et de calculer des limites.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que j'apprécie tout particulièrement puisqu'il fait appel à nos sens pratiques, à notre sens de l'astuce, mais aussi il nous demande d'être bien concentré sur les objets qu'on manipule, ceux qui sont fixés, et ceux qui ne le sont pas. Alors cet exercice, quel est-il ? On se donne P, supérot égal à 2, 1 entier, et P nombre réel strictement positif est classé dans l'ordre croissant. Et il faut montrer que pour tout A, strictement supérot à indice P, l'équation 1, A indice 1 puissance x, et ce jusqu'à A indice P puissance x est égale à A de x, admet une unique racine notée x indice A. On nous demande en question 2 d'étudier le sens de variation de la fonction qui a A associé x indice A, et en question 3 de déterminer l'existence et de calculer la limite lorsque A tend vers plus l'infini de x indice A, et la limite lorsque A tend vers plus l'infini de x indice A ln de A. Alors commençons tout de suite. On est face à une fonction du type F qui a x associé A puissance x pour A dans R. Et là, réflexe, pour se simplifier les calculs, mais aussi pour pouvoir dériver facilement, on passe à l'exponentiel logarithme. Et alors, l'équation du départ devient cette équation-là. Vous allez me dire que ça ne vous implique pas grand-chose à première vue, puisque l'expression reste quand même assez moche, on ne sait pas trop ce qu'on va en faire. Alors moi, ce que je fais, c'est que je passe cette partie-là à gauche, et je note f de x, la fonction obtenue. Et ce que je fais ensuite, c'est que comme f de x, j'ai un peu du mal à la cerner, comme elle est un peu compliquée, je calcule des valeurs particulières. Je commence par calculer f de 0. Je remarque que c'est égal à p-1 et que ça, c'est strictement positif. Notre seul espoir, c'est donc que f de x tende vers L, avec L une limite strictement à faire à 0, et ce en décroissant strictement, puisqu'alors on retrouve notre théorème des valeurs intermédiaires, ou notre théorème de la bijection, je ne sais pas comment vous l'appelez, mais c'est le théorème qui nous donne l'unique solution à une équation fonctionnelle. Or, en l'état, impossible de trouver la limite de f en plus de l'infini, car on ne sait pas si les ak sont super a ou inférieurs à 1. On sait juste qu'ils sont strictement supérieurs à 0 et classés dans l'ordre croissant. Ce que je fais, c'est que j'utilise encore une fois une petite astuce. Je divise de partout, sur toute l'équation, par a. Et puis à ce moment-là, je me ramène à des logarithmes de a1 sur a, de ai sur a. Et je sais que ces ai sur a sont strictement inférieurs à 1 pour tout i compris entre 1 et p, puisqu'on a supposé que a était strictement supérieur, ou égal strictement supérieur, tout court même, au ai pour i compris entre 1 et p. A partir de là, ce qui est dans le logarithme, c'est strictement inférieur à 1, le logarithme est strictement inférieur à 0. Ce que j'ai fait, c'est que j'ai noté f tilde, cette fonction, mais là, ce n'est pas tellement important. Et je remarque que f tilde, en fait, ça tend vers moins 1 lorsque x tend vers plus l'infini. Et ça, j'ai pu le calculer parce que maintenant, j'ai une expression plus simple et ça, pour le coup, vous comme moi, on sait calculer cette limite-là. Encore une fois, ce que je fais, c'est que je calcule des valeurs remarquables. Je calcule f tilde de 0. Je remarque que ça, c'est toujours égal à p moins 1 et c'est strictement supérieur à 0. On en déduit donc, à ce stade, que f tilde admet au moins une racine dans R. Et puis moi, ce qui me permettrait d'avoir gagné, c'est que ma fonction soit strictement décroissante. Pour ça, qu'est-ce que je fais ? Je calcule sa dérivée. Je calcule sa dérivée et je remarque qu'elle vaut cette expression-là. Or, encore une fois, ce qui est à l'intérieur du logarithme est strictement compris entre 0 et 1. Donc le logarithme est strictement inférieur à 0. Je les multiplie chacun par des exponentiels dont on sait qu'elles sont strictement supérieures à 0. On en déduit donc que f est strictement décroissante sur R puisque sa dérivée est strictement négative sur R. Ainsi, l'équation admet une unique racine x indice A et pas x puissance A puisqu'on a montré la stricte décroissance et puis qu'on a f de 0 qui est strictement supérieur à 0 et sa limite en plus infinie qui est strictement inférieure à 0. Pour la question 2, pour montrer la décroissance de la fonction qui a A associé x indice A, je vous propose de revenir à la définition fondamentale de la croissance et de la décroissance d'une fonction. On se donne B strictement supérieur à A et on va voir si x indice A est supérieur à x indice B ou inversement. En reprenant les notations précédentes, on remarque d'emblée que pour tout x dans R+, f indice A de x est supérieur ou égal à f indice B de x. On a donc que f indice B de x de A est inférieur ou égal à 0, d'où x indice B est supérieur ou égal à x indice A. Conclusion, on déduit que la fonction qui a A associé x indice A est décroissante. Comment j'ai pu trouver ça ? Ce que je vous propose de faire, c'est de regarder ce graphique. Je remarque que f indice A de x est supérieur ou égal à f indice B de x pour tout x dans R. Très bien, je les dessine. J'ai f indice A qui est au-dessus de f indice B. Là, je ne vous apprends rien. Graphiquement, c'est vraiment clair que lorsque f indice A est égal à 0, f indice B est déjà négative puisqu'elle s'est déjà annulée avant, puisqu'elle est inférieure à f indice A. Passons maintenant à la question 3 qui nous demande de calculer la limite lorsque A tend à plus l'infini de x indice A. Puisque A associé x indice A est décroissante et minorée par 0, elle amène une limite L supérieur ou égal à 0 en plus l'infini. Et ce que je vais faire pour trouver L, c'est que je vais faire un petit raisonnement par l'absurde. Je supposer que L est différente de 0, c'est-à-dire que L est strictement supérieur à 0. En passant à la limite, je vais trouver que A indice 1 de L plus A indice P puissance L est égal à plus l'infini. Puisqu'ici, lorsque A tend vers plus l'infini, A puissance L, avec L strictement supérieur à 0, tend forcément vers plus l'infini. Et ça c'est absurde, puisqu'on aurait une quantité finie qui est égale à une quantité infinie. On a donc L qui est égale à 0. Conclusion, x indice A tend vers 0 lorsque A tend vers plus l'infini. On obtient également, puisque x indice A fois ln de A, c'est égal à ln de A exposant x indice A, par calculs vraiment fondamentaux sur les logarithmes. Ce que je fais maintenant, c'est que je remplace d'après l'équation, d'après l'énoncé. On trouve également, maintenant qu'on a trouvé ce L, que la limite, juste en remplaçant, c'est égal à ln de P.

Racine d’une somme de puissances

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