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Analyse

Dérivabilité, C1 et monotonie

Bonjour à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous avons un exercice complexe qui demande beaucoup de calculs et de concentration. L'énoncé nous demande de dériver n fois la fonction f(x) = x²ln(1+x). Nous utilisons la formule de Leibniz pour cela. On identifie les fonctions g(x) = x² et h(x) = ln(1+x). On commence par dériver h(x) et trouvons que h'(x) = 2x, h''(x) = 2, et h''''(x) = 0 pour tout k ≥ 3. Pour g(x), nous trouvons que g'(x) = 1+x, g''(x) = -(1/(1+x)²), et g''''(x) = -((k-1)!(1+x)^(-k)). En utilisant la formule de Leibniz, nous trouvons que la dérivée n-ième de f(x) est égale à la somme de (kCn)(g^(k))(h^(n-k)) pour k allant de 0 à n. En factorisant et simplifiant, nous trouvons finalement que f^(n)(x) = 2x² + 2nx + n² - n(1/(1+x)^(n)). Cet exercice est complexe dans les calculs, mais la clé est de simplifier les expressions et de découper le travail. Il est important d'identifier la formule de Leibniz comme outil nécessaire pour résoudre cet exercice. La qualité de la paresse peut être utile ici, car elle nous pousse à simplifier les expressions et à rendre le travail plus facile.

Bonjour à tous, c'est Corentin. Alors aujourd'hui je suis souriant mais l'heure est grave puisque l'exercice que nous avons face à nous aujourd'hui va nous demander beaucoup de capacités de calcul et beaucoup de concentration. Alors j'espère que vous êtes prêts, accrochez-vous. L'énoncé de cet exercice est en apparence assez simple. On nous demande de dériver n fois la fonction f qui a x associé x au carré fois ln de 1 plus x. Deux choses doivent nous mettre à la puce à l'oreille. On nous demande de dériver n fois une fonction qui s'écrit comme le produit de deux autres fonctions. Et ça, ça doit nous rediriger immédiatement vers la formule de Leibniz que je vous rappelle aujourd'hui. Soit g et h deux fonctions cn et f qui est le produit de g par h. Alors f est aussi cn et f dérivé n fois est égale à la somme pour k allant de 0 à n de k parmi n fois g dérivé k fois fois h dérivé n moins k fois. On remarque que cette somme là en fait c'est un espèce de binôme de newton appliqué à deux fonctions. Ici on identifie nos deux fonctions. h c'est la fonction qui a x associé x au carré et g c'est la fonction qui a x associé ln de 1 plus x. Le domaine de définition du produit est donc moins 1 plus l'infini. Pour se forger une idée et pour commencer à faire nos premiers calculs doucement mais sûrement, ce que je vous propose de faire c'est de commencer par dériver une fois. On trouve que h prime est égal à 2x. On dérive une deuxième fois. On trouve que h seconde est égal à 2. Et puis on remarque que pour tout k super ou égal à 3, h dérivé k fois est égal à 0. Et là on commence à avoir un petit espoir sur le fait que ces calculs vont simplifier puisque pour k est égal à 3, h dérivé k fois est égal à 0. Pour g en revanche c'est moins cool puisque g prime de x est égal à 1 plus x. g seconde de x est égal à moins 1 divisé par 1 plus x au carré. Et g dérivé k fois 2x est égal à moins 1 puissance k moins 1 fois k moins 1 factoriel divisé par 1 plus x puissance k. Voilà on s'est forgé notre intuition, on a commencé à dériver un peu et là on peut s'attaquer à notre fameuse formule de Leibniz et réinjecter ce qu'on vient de trouver dans cette somme. On remarque alors que f dérivé n fois est égal à cette formule-là. On arrive sur cette formule assez barbare mais on va pouvoir s'en sortir en simplifiant puisqu'on remarque qu'on peut factoriser par v de x avec v de x qui vaut cette expression là qui en simplifiant encore un peu v de x et là je vous fais confiance je vous fais confiance. Moi je passe vite sur les calculs parce qu'il faut savoir calculer en prépa mais l'intérêt en fait il n'est pas là. L'intérêt il est surtout l'idée qu'il faut qu'il faut que vous ayez c'est vraiment factoriser pour avoir une expression plus simple et puis ensuite en fait c'est découper le travail. On factorise et puis ce qu'on fait maintenant c'est qu'on travaille juste sur v de x qui est ma foi compliqué mais déjà plus simple que cette formule barbare qu'on avait là. Voilà c'est ça l'idée qu'il faut que vous ayez c'est factoriser et puis après vous allez voir que les calculs ça roule tout seul. V de x voilà ce qu'on fait c'est qu'on développe ici ici aussi on développe ici aussi on développe et puis on simplifie. Enfin c'est des choses qu'on sait faire depuis la seconde. Et puis on trouve que v de x est égal à 2 fois x au carré plus 2nx plus n fois n-1. On en conclut donc que f dérivé n fois 2x est égal à 2x au carré plus 2nx plus n au carré moins n fois ce quotient là. Voilà donc cet exercice est assez compliqué dans les calculs et dans la rigueur qu'il faut que vous ayez. En revanche de manière théorique la seule difficulté qu'on rencontre c'est identifier notre besoin c'est à dire identifier qu'on a vraiment besoin de cette formule de Leibniz pour résoudre cet exercice, identifier nos deux fonctions, le domaine de définition, commencer à dériver un peu, réinjecter et puis là j'insiste vraiment l'idée qu'il faut que vous ayez vraiment quand vous faites des calculs un peu compliqués c'est simplifier. Une qualité qui n'est pas forcément une qualité en prépa mais une qualité qu'il faut avoir en calcul c'est être paresseux. C'est vraiment simplifier, se découper le travail, se mâcher le travail et puis après on s'en sort vraiment facilement.

Dérivée n-ième

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