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Les primitives - Techniques avancées

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. Nous la nommons i. Pour effectuer le changement de variable, nous posons x = √t. Donc dx = 1/(2√t) dt. La borne supérieure devient x+ = √4 = 2 et la borne inférieure devient x- = √1 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème et obtenir que i = 2∫(1-x) dx de 1 à 2. En calculant cette intégrale, on trouve que i = -1.

Passons maintenant à la deuxième intégrale, qui est de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt. Nous devons poser x = cos²t. En dérivant, nous obtenons dx = -sin2t dt. Les bornes deviennent x+ = cos²π = -1 et x- = cos²0 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à -∫-1/(1+x²) dx de 1 à -1. Nous reconnaissons cette intégrale comme l'arc tangente et trouvons que cette intégrale est égale à π/2.

Enfin, nous évaluons la troisième intégrale, qui est de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt. Nous posons x = ln t. En dérivant, nous obtenons dx = 1/t dt. La fonction f associée à x est 1/(2x + 1). Les bornes sont x+ = ln e = 1 et x- = ln 1 = 0. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que cette intégrale est égale à ∫(1/(2x + 1)) dx de 0 à 1. En calculant cette intégrale, nous trouvons que c'est égal à ln(3/2).

En résumé, l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt est égale à -1, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à π/2, et l'intégrale de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt est égale à ln(3/2).

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va effectuer des changements de variables. En effectuant le changement de variable demandé, calculez les intégrales suivantes. Alors on commence avec la première, c'est l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. On la nomme i vu qu'en général, c'est plus simple de commencer l'exercice en nommant les objets dans lesquels on utilise. Attention quand même à la conclusion, de ne pas réutiliser les notations qu'on a introduites, c'est plus simple de mettre directement la solution. Bref, ici il n'y a pas trop de quoi réfléchir, il faut effectuer le changement de variable demandé. Alors, tout comme l'intégration par partie, tout comme la récurrence, il y a des étapes à respecter. Donc, on va y aller étape par étape. Le changement de variable, pour se rappeler l'idée, c'est l'idée que l'intégrale de f de Φt, avec sa dérivée à l'extérieur Φ't, dt, c'est égal à l'intégrale de f de u du. Bon, cette formule j'avoue que j'ai toujours eu du mal à l'appréhender, donc au final, il vaut mieux essayer de voir ce que ça fait en direct. En posant x qui est égal à Φt, qui est égal à racine de t. Donc on identifie quand même le Φ qu'on utilise, donc c'est la racine. Ok, puisqu'on nous a demandé de poser ceci. Alors à ce moment là, dx c'est égal à quoi ? C'est égal à Φ't, et c'est égal à 1 sur 2 racine de t, dt. Et puis la bande supérieure ça va être x+, qui vaudra racine de 4, donc plus 2, si on choisit la bijectivité. Et x- ce sera la racine de la bande inférieure, racine de 1, qui vaudra 1. Attention, tout comme l'intégration par partie, il y a des hypothèses à vérifier pour le théorème de changement de variable. Alors, les hypothèses c'est quoi ? C'est que Φ, qu'on a introduit ici, soit c1 sur l'intervalle de départ, donc 1, 4. Et que f, c'est la fonction, du coup si on essaye déjà de repérer, on aura du dt sur racine de t qui interviendra ici. Donc la forme f en elle-même, c'est juste 1-x. Donc elle, il faut qu'elle soit continue sur Φ0, Φ4, donc sur 1, 2, il n'y a pas de soucis. Donc à ce moment-là, par théorème de changement de variable, on a l'intégrale de 1 à 4, 2, on fait apparaître la dérivée juste ici. Et donc c'est égal à 2 fois l'intégrale de 1 à 2 de 1-x dx. Et là ça y est, c'est une intégrale très simple que l'on peut calculer. I, c'est donc égal à 2 fois l'intégrée de x-x² sur 2 de 1 à 2. Et donc au final, l'intégrale de 1 à 4 de 1-racine de t sur racine de t dt, c'est égal à moins 1. Super, on passe à la deuxième intégrale, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos2t dt. Donc on doit poser x qui est égal à cos2t. Alors, changement de variable de la même manière. Ici x est égal à φ de t qui vaut cos2t. Maintenant dx, si on différencie, on obtient donc moins sin2t dt. Et donc là on va avoir en fait le dx, et on aura du 1 sur 1 plus cos². x plus, c'est cosinus de π, donc c'est moins 1. Et puis x moins, c'est cosinus de 0, donc c'est 1. Attention, les bandes seront inversées. Hypothèse, φ et c1 sur 0π, et f et c0 sur moins 1, il faut le vérifier quand même. Donc par théorème de changement de variable, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, c'est égal à l'intégrale de 1 à moins 1 de moins 1 sur 1 plus x² dt. On a fait intervenir le moins, puisqu'il y avait un moins qui sortait de la dérivation. D'ailleurs on va utiliser ce moins pour inverser les bandes de l'intégrale, ce sera quand même plus simple de l'autre sens. Et on reconnaît l'intégrale de 1, d'ailleurs c'est un dx là, excusez-moi. On reconnaît l'intégrale de 1 sur 1 plus x², c'est une intégrale usuelle, c'est arctangente, donc arctangente évaluée en 1 moins arctangente évaluée en moins 1, et bien c'est égal à π sur 2. Au final, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, c'est égal à π sur 2. Et la troisième que nous avons évaluée, c'est l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln t plus t dt. Alors qu'est-ce qu'il faut poser dans ce cas-là ? On nous avait indiqué de poser x qui vaut φ de t qui vaut ln de t. Ok, bon, à partir de là on différencie, dx est donc égal à 1 sur t dt. Alors, le 1 sur t, d'où est-ce qu'il va venir ? Eh bien on va sans doute factoriser par 1 sur t pour le faire matcher avec le dt, et qu'est-ce qu'il reste ? Il reste 1 sur 2 ln de t plus 1. Donc au final f, c'est la fonction qui a x associé 1 sur 2x plus 1. φ et c1 sur 1e, f et c0 sur 0,1, donc par théorème de changement de variable, l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2 ln de t plus 1 fois 1 sur t dt, bon là j'ai mis en valeur le changement de variable, comment on va faire, c'est égal à l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 2x plus 1 dx. Et là on retombe sur une fraction polynomiale, on sait comment la traiter. Ici on a juste une puissance 1, donc au final on a à multiplier par 2 ici, et à compenser pour obtenir u' sur u. On se retrouve avec l'intégrale de u' sur u, c'est ln de valeur absolue de u, sur intervalle considéré, c'est positif. Donc au final, l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln de t plus t dt, ça fait beaucoup de t, c'est égal à ln de 3 sur 2. Voilà la fin de cet exercice, donc c'est pour un bien savoir maîtriser, pour commencer à manipuler les changements de variable, la syntaxe est à apprendre par cœur et à réutiliser, il faut l'adapter, il faut vraiment se l'approprier. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis moi je vous dis à bientôt !

Changement de variables 1

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