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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette transcription d'une vidéo sur les changements de variables en calcul d'intégrales, nous abordons trois exemples. 

Le premier exemple concerne l'intégrale de 0 à 1 de 1/(1+exp(t)) dt. On pose x = exp(t) et on utilise la formule de changement de variable pour obtenir l'intégrale de 1 à e de 1/(x+x^2) dx. On calcule cette intégrale en décomposant la fraction en éléments simples et en utilisant des propriétés des logarithmes. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à 1 + ln(2) - ln(e+1).

Le deuxième exemple concerne l'intégrale de 1 à 3 de sqrt(t)(t+1) dt. On pose x = sqrt(t) et on obtient l'intégrale de 1 à sqrt(3) de x^2/(1+x^2) dx. On remarque que le numérateur et le dénominateur se ressemblent beaucoup, on utilise donc la technique du "1 plus 1 moins 1" pour obtenir une intégrale en arctan. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à sqrt(3) - 1 - pi/12.

Le troisième exemple concerne l'intégrale de -1 à 1 de sqrt(1-t^2) dt. On pose t = sin(θ) et on obtient l'intégrale de -pi/2 à pi/2 de sqrt(1-sin^2(θ)) cos(θ) dθ. On utilise ensuite des formules trigonométriques pour simplifier l'intégrale. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à pi/2.

Il est important de retenir la méthode pour traiter les fractions polynomiales et de s'adapter aux différentes situations de changement de variable. La dynamique est similaire à celle des intégrations par parties, il faut suivre les étapes dans l'ordre et tester différentes approches si nécessaire. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va effectuer d'autres changements de variables. On demande d'effectuer justement le changement de variable demandé en calculant les intégrales suivantes. La première, c'est l'intégrale de 0 à 1, de 1 sur 1 plus exponentielle t, dt. On demande de poser x qui vaut exponentielle t. Le changement de variable, on met en place du coup la démarche type. On rappelle l'idée, c'est l'intégrale de f de phi de t, phi prime de t, dt, qui est égale à l'intégrale de f de u, du. Il faut bien repérer les différents éléments dans le schéma type. Alors, on doit poser x qui vaut donc f de t, exponentielle t. En différenciant, dx est donc égal à exponentielle t, dt. L'avant de supérieur pour x, ce sera exponentielle 1. Et puis la borne inférieure, ce sera exponentielle 0, donc 1. Alors maintenant, il faut faire apparaître les termes qu'on a introduits. Là, on aurait un x, mais on n'a pas encore de exponentielle dt pour faire apparaître un dx. Donc, on va forcer l'apparition de ce exponentielle dt, en multipliant en haut et en bas par exponentielle t. Donc ici, on a ça. Donc ici, on aura clairement un dx. Et ce qui reste, c'est pour la fonction de base. Donc ce sera avec x exponentielle t, ce sera 1 sur x plus x carré. Les hypothèses du changement de variable, ne pas les oublier. C'est que phi, c'est exponentielle, donc elle est bien c1 sur 0, 1. Et f, la fonction introduite ici, elle est c0 sur 1e. Donc par théorème de changement de variable, l'intégrale à calculer est égale à l'intégrale de 1 à e de 1 sur x plus x carré dx. Alors comment est-ce qu'on calcule maintenant l'intégrale de 1 sur x plus x carré ? Tout d'abord, il faut classer l'intégrale qu'on demande. En fait, c'est l'intégrale d'une fraction polynomial. Là, c'est banco, vu qu'on a une méthode toute faite pour calculer l'intégrale de fraction polynomial. Il faut tout d'abord se pencher sur le discriminant du polynôme en question. Alors, le polynôme au dénuateur, son discriminant, c'est 1 moins 4 fois 1 fois 0, donc c'est 1, il est supérieur ou égal à 0. Ainsi, on va effectuer une décomposition en éléments simples, et ça va nous donner des solutions, des intégrales en ln. On aurait pu avoir un discriminant strictement négatif, à ce moment-là, on aurait mis sous forme qu'un unique, et on aurait eu une intégrale en arctangente. Alors, on part sur la décomposition en éléments simples, 1 sur x carré, ça peut se factoriser de la manière suivante, 1 sur x facteur de x plus 1, et puis c'est parti pour la décomposition en éléments simples. Bon, je ne détaille pas la méthode, puisque je l'ai déjà pas mal détaillée dans le calcul algébrique. Et donc au final, on obtient que 1 sur x plus x carré, c'est égal à 1 sur x, moins 1 sur x plus 1. Donc on peut, par linéarité de l'intégrale, séparer les deux, et on obtient des solutions en ln, donc ln de valeur absolue de x, évaluée en e, moins évaluée en 1, et ln de valeur absolue de x plus 1, évaluée en e, moins évaluée en 1. Conclusion, l'intégrale de 0 à 1, de 1 sur 1 plus exponentielle t dt, c'est égal à 1 plus ln de 2, moins ln de e plus 1. Très bien. La deuxième à calculer, je les nomme à chaque fois vu que c'est quand même plus simple à manipuler, si jamais j'en ai besoin, mais on finit toujours la conclusion par abandonner nos notations propres pour déterminer ce qu'on nous avait demandé. Alors l'intégrale de 1 à 3 de racine de t, t plus 1 dt. Alors qu'est-ce qu'il fallait poser ? Il fallait poser x, phi de t, qui est égal à racine de t. Donc à ce moment-là, dx, c'est égal à 1 sur 2 racine de t dt en différention. Alors est-ce qu'on peut faire apparaître ça à l'intérieur ? D'abord, on calcule les bandes bien sûr, racine de 3 et racine de 1. On prend les solutions positives. Et donc maintenant, c'est tout le travail de faire apparaître ce qu'on souhaite observer. Donc, on force l'apparition du 1 sur 2 racine de t dt. Ça nous fait apparaître, pour le reste, du 2 fois racine de t sur racine de t plus 1 sur racine de t. À ce moment-là, si on garde ça pour le dx, eh bien f, c'est la fonction qui a x associé, x sur x plus 1 sur x. Donc x² sur 1 plus x². On vérifie les hypothèses maintenant, une fois qu'on a déterminé les deux fonctions en question. Et par théorème de changement de variable, eh bien l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt, c'est égal à l'intégrale de 1 à racine de 3 de x² sur 1 plus x² dx. Alors maintenant, il s'agit de déterminer l'intégrale de cette quantité. Et en fait, c'est une intégrale, je dirais pas de référence, on n'a pas à la prendre par cœur, mais très très très classique. En effet, là on regarde que le dénumérateur ressemble beaucoup beaucoup au numérateur. Il manque quoi ? Il manque un plus 1. Mais si je force l'apparition du plus 1, c'est toujours la même manière, en maths c'est très souvent ça de toute façon, on force l'apparition de ce qu'on veut, on doit par contre compenser par un moins 1. Mais ça nous arrange, vu qu'avec la technique du plus 1 moins 1, et bien de ce côté là, on va avoir juste un facteur 1, et de l'autre on aura un moins 1 sur 1 plus x², bingo, c'est arctangente. Donc au final, les calculs se passent très bien, et on obtient à la fin l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt, c'est égal à racine de 3 moins 1 moins pi sur 12. La dernière que nous avons à calculer, c'est k, c'est l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt. Alors, le changement variable nous demande de poser t qui vaut sinus de θ. Alors là, c'est l'inverse, d'habitude on posait un θ qui s'exprimait en fonction de t, maintenant on nous demande de poser t qui vaut sinus θ, donc c'est plus simple pour appliquer directement la formule, on a juste à remplacer t et dt, mais par contre les bornes c'est un peu plus compliqué, vu qu'on doit déterminer l'inverse de phi. La bande supérieure de θ ce sera pi sur 2, la bande inférieure ce sera moins pi sur 2, f ce sera donc la racine carrée de 1 moins x². En vérifiant les hypothèses, on en déduit que l'intégrale de moins 1 à 1 de racine carrée de 1 moins t² dt, c'est égal à l'intégrale de moins pi sur 2 à pi sur 2 de racine de 1 moins sin² cosθ dt, bon là on comprend tout de suite pourquoi on nous a fait travailler ça, puisque c'est la racine carrée de cos² θ. Or sur moins pi sur 2, pi sur 2 le cos est positif, donc finalement c'est égal à cosθ qui vient se mettre au carré avec celui-ci. On demande d'évaluer l'intégrale de moins pi sur 2 à pi sur 2 de cos² θ dt. Bon ça, on ne connaît pas tellement l'expression de l'intégrale de cos², par contre on connaît le cosinus et ça tombe bien vu qu'on a une formule trigonométrique qui nous permet de faire descendre le carré. cos² c'est 1 demi de cos2θ plus 1, et là on se retrouve en séparant par linéarité de l'intégrale avec deux intégrales que l'on connaît très bien. En effectuant les calculs, on trouve que l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt, c'est égal à pi sur 2. Voilà, on a franchi une étape dans les changements de variables, c'est quand même déjà un peu plus corsé. Bien retenir, ça c'est très important, la méthode lorsque l'on a une fraction polynomial, et puis globalement, ne pas se laisser décontencer, des fois on pose x en fonction de t, des fois t en fonction de x, etc. Il faut s'adapter, et en tout cas on se réfère toujours à la même dynamique, donc c'est ça qui est pratique en même temps avec les changements de variables, sur les intégrations par parties, c'est qu'il n'y a pas de surprise, il faut appliquer dans l'ordre, et puis tester. On n'y arrive pas forcément du premier coup, là on me donnait directement la bonne solution, donc c'était plutôt rapide. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et je vous dis à bientôt !

Changement de variables 2

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