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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment trouver les primitives de fractions polynomiales spécifiques. Il utilise une méthode précise en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, il décompose la fraction en éléments simples. Si le discriminant est strictement négatif, il met le dénominateur sous forme canonique. 

Il commence par résoudre l'exemple de la fonction x/(x²+4). Le discriminant est -16, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4 = (x+0)²+4. La primitive de 1/(x² + a²) est 1/a * arctan(x/a), donc la primitive de x/(x²+4) est 1/2 * arctan(x/2).

Ensuite, il résout l'exemple de la fonction 1/(x²+4x+5). Le discriminant est -4, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4x+5 = (x+2)²+1. Il utilise le théorème fondamental de l'analyse pour intégrer la forme canonique et obtient que la primitive de 1/(x²+4x+5) est arctan(x+2). 

Enfin, il résoud l'exemple de la fonction 1/(1-x²). Le discriminant est 4, donc il décompose la fraction en éléments simples et obtient que la primitive de 1/(1-x²) est 1/2 * ln(|1+x|/(1-x)).

Il explique également comment résoudre les fractions polynomiales plus générales en simplifiant et en utilisant les propriétés de linéarité de l'intégrale. Il rappelle que selon le cas, les primitives peuvent être en racines carrées ou en arctangente.

En conclusion, il récapitule les deux méthodes principales pour trouver les primitives de fractions polynomiales : la décomposition en éléments simples lorsque le discriminant est positif et la mise en forme canonique lorsque le discriminant est négatif.

Note: La traduction a été légèrement modifiée pour optimiser le texte en termes de SEO.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va déterminer des primitives de fractions polynomiales. On nous demande de donner une primitive des fonctions suivantes. Alors la première, c'est x associé 1 sur x² plus 4. Et en fait, elles sont toutes, comme je vous ai dit, des fractions polynomiales. Et donc, on a une méthode précise, toute faite, sur les fractions polynomiales, il n'y a pas de question à se poser. Elle dépend du discriminant du dénominateur. Alors, le polynôme au dénominateur, on calcule son discriminant, et à ce moment-là, s'il est supérieur ou égal à 0, on part en décomposition en éléments simples. Or, s'il est strictement négatif, il s'agit de mettre le dénominateur sous forme canonique. Donc pour le premier cas, le discriminant c-16, strictement négatif, donc on le met sous forme canonique. La forme canonique, pour rappel, c'est celle qui fait passer ax² plus bx plus c, sous forme a facteur de x-alpha² plus beta. Alors, ici, on a x² plus 4, on a directement a qui est égal à 1, alpha qui est égal à 0, et beta qui est égal à 4. C'est déjà quasiment mis sous forme canonique. Ok. Or, ça c'est une intégrale de référence, il faut connaître. L'intégrale de 1 sur x² plus a² dx, eh bien, c'est égal à 1 sur a arctangente de x sur a. Si on voulait le démontrer, le redémontrer pardon, il faudrait faire un changement de variable. Alors, une primitive, à ce moment-là, de 1 sur x² plus 4, c'est la fonction qui a x associé 1 demi, oui, puisque le 4 en fait c'est un 2², 1 demi de arctangente de x sur 2. Alors, la deuxième, c'est 1 sur x² plus 4x plus 5. Alors, le discriminant, c'est 16 moins 20, donc c'est moins 4, c'est strictement inférieur à 0. Donc on la met sous forme canonique. x² plus 4x plus 5, c'est donc x², pardon, x plus 2 au carré, en effet, on met un 2 pour que, en sortant développé, on tombe sur le bon nombre de x. Donc ici, on en veut 4. Ainsi, si on a x plus a², on sait qu'on retombe sur x² plus 2ax, donc ici, on souhaite que a soit égal à 2. Et donc, inévitablement, ça introduit une autre constante, donc on note plus c, plus 5. Or, c, on veut quand même que ça vérifie l'égalité, donc on est obligé de poser c qui est égal à moins 4, puisque si on développe tout ça, on a du plus 4 plus 5, et de l'autre côté, on a du plus 5, donc il faut un moins 4 pour compenser. Ainsi, la mise sous forme canonique, ça nous donne quoi ? x² plus 4x plus 5, c'est x plus 2 au carré plus 1. Très bien. Et maintenant, qu'est-ce qu'on fait de cette mise sous forme canonique ? Eh bien, on l'introduit à l'aide du théorème fondamental de l'analyse, dans la calcul de primitive, l'intégrale de 0 à x de 1 sur t plus 2 carré plus 1 dt. Eh bien, au final, on se retrouve avec la même manière, arc tangente de u. Eh oui. Et donc, c'est arc tangente de t plus 2 entre 0 et x, pour au final trouver qu'une primitive de x associée à 1 sur x² plus 4x plus 5, c'est la fonction qui a x, associée arc tangente de x plus 2. La constante, je l'ai enlevée. J'ai dit que j'annonçais une primitive. La troisième à déterminer, c'est 1 sur 1 moins x². Alors là, le discriminant, il est 7 égale à 4, donc il est strictement supérieur à 0. Donc on part en décomposition en éléments simples. Alors là, on fait toute la décomposition en éléments simples pour au final obtenir que 1 sur 1 moins x², c'est égal à 1 demi de 1 sur 1 plus x plus 1 demi de 1 sur 1 moins x. Très bien, donc qu'est-ce qu'on fait de cette décomposition en éléments simples ? Eh bien, on utilise les propriétés de linéarité de l'intégrale pour décomposer en deux intégrales simples. En effet, elles font intervenir du 1 sur u, même du u' sur u plutôt. Attention là, puisque le u, c'est 1 moins t, donc u' c'est moins, donc il faut bien faire intervenir un moins ici et un moins là. Donc au final, on obtient la primitive de 1 sur 1 moins x², et c'est la fonction qui a x associé, 1 demi de ln de valeur absolue de 1 plus x, le tout divisé par 1 moins x. Voilà, c'est la fin de ces exos. Au moins, on commence à bien y voir clair sur les primitives de fractions rationnelles. D'ailleurs, petit point, si on se retrouve avec du, par exemple, x² plus bx plus d, le tout divisé par 2x² plus ax plus c. Là, on peut se demander comment est-ce qu'on arrive à résoudre ça. En fait, on a juste à simplifier ça au maximum en séparant, c'est-à-dire qu'on va multiplier par 2 ici, pour faire intervenir du 1, et au final, on se retrouvera avec du x sur x², qu'on pourra faire intervenir comme du u' sur u, ou alors du 1 sur x², et que l'on traite de cette manière. Donc, il y a à retenir, de façon différente, soit on décompose en éléments simples lorsque le discriminant est positif, soit on le met sous forme canonique. Dans un cas, on obtient des solutions, enfin des primitives en raven, et dans l'autre cas, des primitives sous forme d'arc-tangente. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et je vous dis à bientôt !

Décomposition en éléments simples

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