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Les primitives - Techniques avancées

Dans cette vidéo, Mathis de studio présente le calcul d'une infinité d'intégrales. Il pose l'intégrale In égale à l'intégrale de 0 à 1 de dx sur x² plus 1, le tout à la puissance n. La première question consiste à exprimer In+1 en fonction de Im pour tout n.

Il commence par rechercher une relation entre le rang d'après et le rang d'avant. En utilisant la technique d'intégration par parties, il obtient deux équations qui le conduisent à une expression entre In+1 et In+2.

En utilisant la technique du plus-un-moins-un, Mathis parvient à un résultat final : In+1 = 1 sur 2n+1 fois (n+1) moins 1 sur 2n fois In.

Il calcule ensuite In pour n = 1 et trouve que I1 est égal à pi sur 4. En utilisant la formule trouvée précédemment, il calcule également les valeurs de I2 et I3, qui sont respectivement égales à 1 quart plus pi sur 8 et 1 quart plus 3 pi sur 32.

Il souligne que cette méthode permet de calculer une infinité d'intégrales pour toute valeur de n. Il encourage les spectateurs à retenir la méthode d'intégration par parties, à ne pas se décourager si une tentative ne fonctionne pas et à utiliser la technique du plus-un-moins-un pour comparer le numérateur et le dénominateur.

En conclusion, Mathis remercie les spectateurs et leur dit à bientôt.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va calculer une infinité d'intégrales. En effet, pour tout n, on pose une intégrale I n qui est égale à l'intégrale de 0 à 1 de dx sur x² plus 1, le tout à la puissance n. Première question, exprimer I n plus 1 en fonction de I m pour tout n. Alors, il faut trouver une relation entre le rang d'après et le rang d'avant. Alors pour ça, tout d'abord, on repart au niveau de la syntaxe. Pour tout n, ça nous fait poser un n parmi n étoiles. Ensuite, I n plus 1, on commence à l'exprimer, c'est l'intégrale de 0 à 1 de dx sur x² plus 1 à la puissance n plus 1. Et donc, dans un premier temps, le réflexe serait de faire apparaître, de chercher à commencer à faire apparaître I n. Donc à ce moment-là, on sépare le terme qu'on a rajouté en puissance. Et puis là, on serait tenté de faire une intégration par partie ou autre chose. En fait, si on fait une intégration par partie, le facteur n va varier d'unité, mais dans le sens d'un autre. Donc on va se retrouver soit avec du n plus 1, soit avec du n moins 1. Donc pas du tout ce qu'on cherche au final. Alors, c'est pour ça qu'il ne faut pas se pencher là-dessus, il faut partir directement, c'est pas très intuitif, il faut partir directement de l'intégrale en elle-même. Donc il faut varier d'un degré en dérivant directement celle-là. Puisqu'en dérivant celle-là, on va obtenir bien du n. Alors, l'intégration par partie, elle va nous donner quoi ? On est censé poser les fonctions u, qui est égale à 1 sur x² plus 1, n plus 1. Et u prime est donc égale à moins 2 n plus 1 x sur x² plus 1, n plus 2. Maintenant, v prime, c'est égal à 1, vu qu'on a fait apparaître du 1 fois 10 sur le total. Et donc v qui est égal à x convient. On se souvient, c'est une primitive qu'il nous faut. Par hypothèse, u et v, ce sont deux fonctions c1 sur 0, 1. Donc, par théorème d'intégration par partie, on a la partie intégrée, qui est égale à x sur x² plus 1 à la puissance n plus 1, entre 0 et 1, plus l'intégrale de 0 à 1 de 2 n plus 1 x² sur x² plus 1 à la puissance n plus 2 dx. Le premier, on peut le calculer. Il faut 0 en 0 et 1 sur 2 n plus 1 en 1. Mais le deuxième, on n'est pas très avancé, vu qu'on se retrouve avec du 2 n plus 1 intégral de 0 à 1 de x² sur x² plus 1 à la puissance n plus 2 dx. On n'est pas très satisfait. Alors, à ce moment-là, on va utiliser la fameuse technique qu'il nous faut assez souvent, c'est de repérer ce qu'il y a au dénominateur par rapport à ce qu'il y a au numérateur. Et là, pour descendre d'une puissance, il suffit de rajouter 1, et du coup de compenser par 1, c'est bien la technique du moins 1 plus 1. Donc au final, si on sépare ça en deux, on a sa baisse d'une puissance d'un côté, on se retrouve avec du 1 sur x² plus 1 à la puissance n plus 1, et de l'autre côté, du moins 1 sur x² plus 1 à la puissance n plus 2 dx. Bon ben là, on a quasiment gagné, vu qu'au final, si on se rend compte de ce qu'on vient de faire, eh bien ici, c'est exactement i n plus 1. Et ici, c'est effectivement exactement i n plus 2. Donc là, vraiment, on est sauvé. Si on résume l'égalité qu'on a trouvée, i n plus 1, c'est égal à 1 sur 2 n plus 1, plus, attention de ne pas oublier ça, 2 n plus 1 fois i n plus 1 moins i n plus 2. Et puis on a juste, nous on voulait une expression entre i n plus 1 et i n, pas entre i n plus 1 et i n plus 2, donc on a juste à baisser d'un rang, i n, c'est égal à 1 sur 2 n plus 2 n facteur de i n moins i n plus 1. Donc pour tout n appartenant à n étoiles, on isole i n plus 1, qui est égal à 1 sur 2 n plus 1 fois n, plus 1 moins 1 sur 2 n fois i n. Donc c'était une intégrale très intéressante à calculer, qui fait intervenir de nombreux domaines. Donc il faut penser quand même à utiliser cette technique une fois qu'on s'est rendu compte que ça ne marcherait pas. On déduit à la valeur de i3. Bon, sachant qu'on sait la valeur de celui d'après en fonction de celui d'avant, eh bien on espère calculer le premier qui est possible. Donc pour n étoiles, ça veut dire que le premier c'est 1. i1, c'est l'intégrale de 0 à 1, de 1 sur x carré, 1 plus x carré, pardon, dx. Et 1 plus x carré, 1 sur 1 plus x carré, on connaît, c'est l'intégrale usuelle d'arc-tangente. Or arc-tangente en 1, ça vaut pi sur 4, arc-tangente en 0, ça vaut 0. Donc finalement, i1 est égal à pi sur 4. Et ça y est, c'est initialisé, c'est la seule intégrale qu'on aura à calculer définitivement, puisque maintenant on peut utiliser cette formule pour calculer les suivantes. i2 donc, pour n égale 1, eh bien c'est égal à 1 sur 2 puissance 2 fois 1, plus 1 moins 1 sur 2 fois 1, i1. Donc au final, c'est égal à l'intégrale de 0 à 1, de 1 sur 1 plus x carré au carré dx, c'est égal à 1 quart plus pi sur 8. Bon déjà, ça fait une intégrale qui n'est pas évidente, qu'on a réussi à calculer comme ça. Et puis enfin, pour calculer i3, on a n égale 2, on fait le même calcul, et au final on trouve que i3, qui est égal à l'intégrale de 0 à 1, de 1 sur 1 plus x carré le tout au cube dx, eh bien déjà c'est une intégrale qu'on n'aurait pas su calculer comme ça, et c'est égal à 1 quart plus 3 pi sur 32. Donc on a la valeur exacte d'une intégrale qui n'est pas simple du tout, et d'ailleurs on s'est arrêté à 3, mais à partir de là, c'est pour ça que j'ai appelé l'exercice comme ça, on peut en calculer une infinité pour toute valeur de n. Il suffit de trouver la relation de récurrence qu'on a terminée ici. Donc bien retenir la méthode d'intégration par partie, ne pas se décourager si on a tenté une qui n'a pas marché. Et puis la technique du plus-un-moins-un lorsqu'on essaie de comparer le numérateur et le dénumérateur. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis maintenant je vous dis à bientôt !

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